Bardzo skromne zjawiska wystarczają mi za źródła tajemnic i zaskoczeń. Po co gnać na Atlantydę, jeśli (jak kiedyś przekonująco pokazał „National Geographic Magazine”) ogródek przy domu pełen jest zdumiewających chwastów. Podziwiam, rzecz jasna, gdy Hervé This odgotowuje ugotowane jajko, ale chciałbym zrozumieć prostszą (czy aby na pewno?) sprawę, czemu upieczone przez żonę ciasto z czerwonego buraka ma lekki zapach makowca? A w kwestii 2 i 3 wcale nie potrzebuję problemu trzech ciał, wystarczy mi liczba Frobeniusa.

Podkradam gdzie mogę (naukowo to nazywają kompilowaniem) przykłady i ćwiczenia, które utrudnią studentom w przyszłym, zaczynającym się w marcu semestrze, usypianie na mój widok. I ostatnie, co jak sroka wydziobałem (w książce Экспериментальное наблюдение математических фактов, jednej z ostatnich napisanych przez Vladimira Arnolda), to zabawne ćwiczenie z dwoma liczbami, które łatwo prowadzi do twierdzenia Sylvestera, a przy trzech liczbach do dziś pozostaje otwartym (czyli nierozwiązanym) problemem, o liczbie Frobeniusa.

Wejdź do miasta, w którym używa się tylko monet trzy i pięciotalarowych. I zaglądasz do sklepu, w którym sprzedawca ma jeszcze pustą kasę. Jakie rachunki zdołasz zapłacić? Najlepiej poeksperymentuj, zaglądanie na stronę 85 owej książeczki to psucie sobie zabawy, bo to jednak miłe odkrycie, że począwszy od pewnej sumy każdy rachunek potrafisz zapłacić. I dziwi, z początku, że dla monet siedmio i pięciotalarowych ten początek by był trzykrotnie bardziej oddalony. I po paru eksperymentach przypuszczalnie potrafisz przedstawić hipotezę, która została dowiedziona przez Sylvestera. Takie nieoczekiwane bogactwo zdarzeń przy użyciu zaledwie dodawania i pary małych liczb.

Obserwacja o symetrii liczb „wypłacalnych” i „niewypłacalnych” (wśród nich będą, rzecz jasna, wszyskie ujemne liczby całkowite) ujawni się jeśli zaznaczysz na prostej dwoma kolorami oba typy liczb i zauważysz, że wstawienie w pewnym miejscu (w którym? Jak ono zależy od wyjściowych liczb?) zawiasu przerzuca między sobą te zbiory.

No właśnie. A jak weźmiesz nie dwie, a trzy monety, kaszka manna. Są programy komputerowe obliczające od której liczby wszystkie są „wypłacalne” – i jest nieco badań na ten temat, ale nie ma odpowiedzi końcowej w postaci wzorku liczbowego. Powiedzmy, że weźmiesz na początek dane 3,7,11 – szybko wykażesz „siłowo”, że każda suma począwszy od 9 jest wypłacalna (tylko 1,2,4,5,8 nie da się zlepić z wielokrotności 3,7 i 11) – ale nie ma na widoku ogólnej zależności. Wydaje się, że tam jest bógwico, czyli nic się nie wydaje, bo na przykład dla liczb 4,6,9 wypłacalność zaczyna się od 12...

Nawiasem, gdyby sprzedawca miał resztę (w tego samego typu talarach), to mielibyśmy nie tylko wielokrotności dodatnie monet, ale i ujemne – i ogólny wzór jest znany jako tożsamość Bézout, nietrudna konsekwencja algorytmu Euklidesa. Coś, czego kiedyś nauczano w szkołach. Przypuszczam, że teraz w niewielu miejscach poza wykładami dla matematyków i informatyków. Czyli dawna powszechna wiedza staje się ulicą z Atlantydy, i ten nawias wskazuje, że to już koniec wpisu.