Nawet jeśli nigdy nie zdarzył ci się kontakt z grupą od oficjalnej strony, przez jej definicję, to znasz twór od strony praktycznej: sześć różnych sposobów na układanie równobocznego trójkąta na jego pierwotnym miejscu (nie zapominaj, że zostawianie go w spokoju to jeden z tych sześciu ruchów), osiem dla kwadratu, tylko cztery dla prostokąta z bokami różnej długości – a może i 24 sposoby na obracanie sześcianu (ach, gdyby dawało się go przenicować na drugą stronę, to byłoby tych sposobów 48; życie w 4 wymiarach ma swoje zalety).

To są właśnie przykłady grup. Malutkich grup. Symetrie, wykonane jedna po drugiej dające inne symetrie. I każdą z nich można odkręcić. To znaczy użyć symetrii, która przywraca figurę (bryłę, grafik) do wyjściowego stanu.

Dziedzina ciekawych i głębokich studiów, teoria grup, młodziutka (choć znajdzie się jej korzenie sprzed 200 lat, to ona sama chodzi samodzielnie niewiele ponad setkę), rozrośnięta w wielu kierunkach i wrośnięta już w prawie wszystkie działy matematyki, fizyki i chemii, dobrze czująca się w biologii, muzykologii, architekturze, antropologii – krótko mówiąc, wszędzie, gdzie słowo „symetria” jest kochane i szanowane – może zaskoczyć tak laika jak i studenta brakiem prostej i zrozumiałej klasyfikacji swoich małych obiektów. „Wymiar” grupy (a fachowo mówiąc: jej rząd) to ilość jej elementów. (Oczywiście mówię teraz o grupach skończonych; te nieskończone to zupełnie inna piosnka). Widać, że te dwie figury

mają po 6 symetrii, ale to są inne grupy – i trzeba nieco pomyślunku lub znajomości teorii, by pokazać, że nie ma innych możliwych sześcioelementowych grup. Podobna będzie sytuacja z czteroelementowymi grupami, ale pięcioelementowa jest tylko jedna na świecie, jeśli nie liczyć jej wiernych kopii (używających odmiennych zapisów).

W sławnej i użytecznej OEIS, sieciowej encyklopedii ciągów liczb całkowitych, pierwszym ze skatalogowanych obecnie ponad 200 tysięcy ciągów (powtórzę: pierwszym z nich) jest ciąg podający ile jest różnych grup dla kolejnych liczb naturalnych. Od razu rzuca się w oczy, że liczby pierwsze nie dają luzu grupom, zawsze jest tam jedna jedyna grupa, a potęgi dwójki są uprzywilejowane, już dla n=8 jest pięć grup.

A dla n=16 jest ich 14. I choć to sprawa znana od stu lat (wtedy właśnie ukazała się monografia W. Burnside'a Theory of Groups of Finite Order), nie dręczy się studentów dowodzeniem tego, bo klasyczne wyliczanki są nieco uciążliwe. Ale w 2005 roku szwajcarski matematyk Marcel Wild, pracujący na uniwersytecie w Południowej Afryce, uprościł nieco te rachunki, w artykule czyniącym w tytule spełnioną obietnicę: The Groups of Order Sixteen Made Easy (MAA, vol.112, no.1).

Jednak nie należy robić sobie zbytnich nadziei na daleki spacer tą ścieżką, bo na to tylko komputer może sobie pozwolić. Jak pisał tam autor: „Ostatnio klasyfikacja małych grup nadzwyczajnie rozwinęła się dzięki studiom [tu wymienionych trzech autorów]. W końcu ludzkość wie, że są 49.487.365.422 grupy rzędu 2¹⁰, w przybliżeniu siedem ich na każdego człowieka”.

Wykorzystam okazję, żeby zrobić reklamę moim szkicom pokazującym jak bogatymi strukturalnie obiektami są już dwunastoelementowe grupy – dotarło do mnie, że te rysunki były włączone do paru wypracowań w Stanach, dowodzących studenckie rozumienie tematu; jeśli przed wklejeniem przeczytali i zrozumieli, to świetnie. Ale o pewność tu trudno...