Słowa w ordynku. Słowa w ataku i w obronie. Pomieszane.
Refrakcja słów w stali i w wodzie. Odbicia słowne i zwidy. Ład i gładkość.
Spazmy i erupcje. Kojący wpływ soku z passion fruit. Od rzeczy i do rzeczy.
Krótko mówiąc. Ostatnie słowo. Na początku był skowyt.
|
Blog > Komentarze do wpisu
O bardzo dużych liczbach
Po co było dwuczęściowe opowiadanie sprzed dwóch lat:
tu i
tu,
o aksjomatach Peano, czyli o zasadzie indukcji („zupełnej”,
„matematycznej”)? Hmm, sądzę, że nie
wszyscy ją dobrze rozumieją, nawet jeśli powinni. I to przekonania żywią
także autorzy różnych przyczynków w pisemkach matematycznych, pokazujący
zabawne błędy w jej używaniu, co daje najbardziej zdumiewające
stwierdzenia z dziedziny matematyki. Jedno z nich przypomniało mi się przy
odkurzaniu paru półek na komputerze, pojawiło się to w formie kpinki w
The College Mathematics Journal (vol.30, p.95, 1999):
Twierdzenie. 1 jest największą liczbą całkowitą.
Dowód. Załóżmy, że nie. Niech n> 1 będzie największą liczbą
całkowitą. Ale n²> n. Jest tu sprzeczność, więc
twierdzenie jest udowodnione.
Ćwiczenie. Użyj tego twierdzenia, by udowodnić, że 1/2 jest
największą niecałkowitą liczbą wymierną.
Podobnych twierdzeń można wyguglować wiele, zawsze opiera się to na alternatywnym czyli zabałaganionym używaniu indukcji. sobota, 26 listopada 2011, andsol-br
TrackBack
Komentarze
poziomka_vr
2011/11/26 14:30:02
Gdzie w tym twierdzeniu (że 1 jest największą liczbą naturalną) jest indukcja?
2011/11/26 16:50:39
Schowana w (niepoprawnym, rzecz jasna) rozumowaniu "gdyby w zbiorze naturalnych 1 nie spełniało tego warunku, to byłby pewien najmniejszy element go spełniający" czyli byłby najmniejszy możliwy przykład taki, że on jest największą liczbą całkowitą.
Jednym z warunków indukcji (czyli definicji zbioru liczb naturalnych) jest wymóg, że każdy niepusty podzbiór ma najmniejszy element. 2011/11/27 10:04:54
"gdyby w zbiorze naturalnych 1 nie spełniało tego warunku, to byłby pewien najmniejszy element go spełniający"
To chyba też nie jest indukcja... 2011/11/27 12:26:46
Jest. Esencją zasady indukcji (tworzenia liczb naturalnych, tworzenia ciągów) jest powiązanie dwóch zasad: gdzieś to się zaczyna, jest pojęcie następnika (gdybym potrafił opowiedzieć to lepiej niz w dwóch podlinkowanych częściach eseju, to wtedy bym już to zrobił). Możliwości przeformułowania tego są liczne, jedna z nich polega właśnie na tym, że jeden z warunków mówi: w zbiorze jest pewien porządek, przy którym nabiera sensu słowo "najmniejszy" - i w każdym podzbiorze jest jego najmniejszy element.
2011/11/30 15:11:47
Znajdziesz go stosując wymóg istnienia najmniejszego elementu w każdym niepustym podzbiorze do pełnego zbioru - czyli w rozważanym calutkim zbiorze jest ów "początek".
Mam wrażenie, że jesteś tak przyzwyczajona (o ile jesteś poziomką damską, bo nie mam prawa wykluczać istnienia poziomki męskiej) do klasycznej formy sformułowania zasady indukcji, że nadmiernie nieufnie traktujesz inne sformułowania. Na ogół w tym blogu unikam formalnych dowodów jakie przedstawia się na wykładach matematyki, moim celem jest zainteresować, zaskoczyć, zachęcić - ale to wcale nie znaczy, że dowód równoważności różnych wysłowień zasady indukcji ma w sobie coś trudnego. Potrafisz sama go przeprowadzić "tam i z powrotem".
Gość: pr.ca, 174.3.241.8*
2011/12/08 07:07:23
Czekalem na dalsze komentarze ale widze, ze musze sam. Popieram Poziomke, bo zanim dojdziemy do indukcji najpierw mamy niepoprawna negacje. W dowodzie, z zalozenia, ze 1 NIE jest najwieksza liczba calkowita nie wynika, ze jakas inna liczba jest najwieksza.
Jak w dowodzie jest tak nabelkotane jak w tym przykladzie, to mozna pokazac tylko pierwsze miejsce gdzie cos jest zle i tu nie chodzi o indukcje a raczej o logiczny blad. Slonimski i Tuwim, w podbnej sprawie, radzili najpierw wyciagnac korzen kwadratowy z Wandzi i resztke dowodu przeslac bezposrednio do Szpitala Psychiatrycznego im. Czegos_tam_swietego. (Nie mam 'W oparach absurdu" pod reka a nie pamietam szczegolow.) 2011/12/08 13:23:24
pr.ca, rzeczesz: zanim dojdziemy do indukcji najpierw mamy niepoprawna negacje - świetnie, dojrzałeś gdzie ów "dowód" kładzie się, w rozumowaniu jest (błędne, tak, tak, tak, błędne) ukryte założenie, że istnieje taki byt jak "największa liczba całkowita" - i jak definicja implikacji mówi, z fałszywej przesłanki można dotrzeć do prawdziwego wniosku. A że autor owej kpinki dociera indukcją, to fakt i kropka. I nie rozumiem co oznacza "popieranie" poziomki - ona nie negowała istnienia tu indukcji (chwała jej za to), a mówiła, że nie dostrzegała gdzie indukcji użyto. Wyjaśniłem, że zastosowano w pełni równoważną wersję indukcji - więc próba obalenia tego leży, a leżących rzeczy nie da się popierać.
Gość: pr.ca, 174.3.241.8*
2011/12/09 08:10:30
W dowodzie kpince bedacej przedmiotem tego dyskursu nie ma wzmianki, ze indukcja jest uzywana. Mozemy sie tylko domyslac i jak ktos w tym dowodzie widzi indukcje to jego intymna, delikatna sprawa. Z implikacja w tym przypadku nie jest tak jak andsol-br pisze. Z prawdziwego zalozenia, ze 1 nie jest najwieksza liczba calkowita (przeslanka) wywnioskowano, ze jakies n>1 jest najwieksza liczba calkowita (nieprawda). Ta implikacja jest bledna i ten blad nie ma nic wspolnego z indukcja.
Jesli ktos widzi zle uzyta indukcje w tym dowodzie, to ja twierdze, ze w tym dowodzie zle uzyto lematu Urysohna. Zeby pokazac, ze nie mam racji, prosze mi pokazac, ze uzyto lematu Urysohna poprawnie. Jesli ktos w tej kpinie widzi niepoprawne uzycie indukcji to z latowscia zauwazy niepoprawne uzyciei lematu Urysohna. Wyjscie jest proste: o nieistniejacych obietkach mozna mowic co sie chce. Serdecznosci, PR 2011/12/09 11:58:24
Słuchaj, ustalmy się w takiej pozycji: masz rację. W kpince nie ma wzmianki o indukcji. Czy ktoś widzi ją czy nie to sprawa jego widzenia.
Ale nie masz racji mówiąc: ta implikacja jest bledna i ten blad nie ma nic wspolnego z indukcja. Po pierwsze, nie sugerowałem, że błąd jest w indukcji, a w "zabałaganionym używaniu indukcji", co jest zupełnie inną bajką. Po drugie, implikacja nie jest błędna. Błędna jest przesłanka, a wywodzenie tak prawdy jak i fałszu z fałszywego założenia jest poprawne: (0-->1)≡1.
Gość: pr.ca, 174.3.241.8*
2011/12/09 18:09:33
Mialem na mysli implikacje
(1 nie jest najwieksza liczba pierwsza [pierwsze zdanie]) -> (Istnieje największa liczba całkowita [niech n>1 nia bedzie, drugie zdanie]) Ta implikacja jest bledna z powodow podanych wczesniej. I to by bylo na tyle co na przodzie. PR
Gość: pr.ca, 174.3.241.8*
2011/12/09 18:10:09
Mialem na mysli implikacje
(1 nie jest najwieksza liczba pierwsza [pierwsze zdanie]) -> (Istnieje największa liczba całkowita [niech n>1 nia bedzie, drugie zdanie]) Ta implikacja jest bledna z powodow podanych wczesniej. I to by bylo na tyle co na przodzie. PR |
|
