Mam wrażenie, że stwory wspomniane w tytule urodziły się w skromnym ale uczciwym otoczeniu ludzi pracująch w teorii grafów, koło 40 lat temu, ale w tych sprawach jest zupełnie okay porwać dziecię i zapomnieć skąd ono. Bo można mu dorobić prostszy (choć fałszywy) rodowód.

Najpierw o tym brzydkim słowie. Nie mówimy przy cioci „coś mi się spermutowało na biurku” (chyba że jest matematyczką) ani na końcowym przystanku autobusu (chyba że chcemy pokazać ludziom, że jesteśmy z zupełnie innej dzielnicy oraz klasy społecznej). Ale słowa nie unikniemy gdy trzeba nazwać taką funkcję, która skończony zbiór przekształciła na niego samego ale tak, że dopiero po uważnym przyjrzeniu się można ujrzeć, że jakieś elementy zostały poprzestawiane. A więc różne elementy zajęły różne pozycje, nie ma robienia stosów i nieuchronnego przy tym zostawiania pustych miejsc. Czyli – więcej żargonu fachowego – robimy bijekcję. Chociaż od kiedy dwutlenek stał się ditlenkiem, nie wykluczam że mamy teraz dijekcje, bo edukatorzy od metodyki nie mają orgazmu jak życia nazw nie pokomplikują.

Ważne jest to, że zostawienie wszystkiego na swoim miejscu też jest permutacją, ale nie nazywa się „atakiem lenistwa” a „identycznością” lub „funkcją identycznościową”. Oraz ważne jest, że charakter przestawianych elementów jest nieważny, więc zamiast przestawiać obiekty mające nazwy i wagę możemy przestawiać – na przykład – kolejne liczby. Jeśli chcemy myśleć o permutacjach zbioru z n elementami, wygodnie jest umówić się, że ten zbiór, A_n, składa się z liczb od 1 do n.

Może wydać się naturalnym użycie symbolu P_n dla zbioru wszystkich permutacji nośnika A_n (zgódź się na tego „nośnika”, w ten sposób unikniemy aliteracji czyli nudy dźwiękowej), bo to pierwsza litera od słowa „permutacje”, ale wiele osób woli pierwszą literę od słowa „symetria”, bo symetrie zostawiają geometryczne obiekty pozornie nieporuszone, więc pożyczamy sobie do używania w zbiorach skończonych pojęcia z geometrii i piszemy f∈S_n, żeby powiedzieć, że f jest permutacją.

Porządny biurokratyczny zapis funkcji f wymagałby dwóch linijek, w pierwszej stałyby liczby od 1 do n, a w drugiej, pod spodem, dokąd te liczby powędrowały: pod 1 stałały liczba f(1), pod 2 – f(2) i tak do znudzenia czyli do n. Ale wystarczy na nasze potrzeby wziąć tylko drugą linię, ot, tak by wyglądała pewna permutacja pięciu elementów:

W szkole bez wątpienia była mowa o funkcji „silnia” liczącej ile jest elementów w S_n; rozmowa była krótka, bo liczby szybko stają się okropnie duże i z niesmakiem zostawiamy je na koniec roku. Ale może do pięciu pamiętasz wartości silni:

Wiem, przeskoczyłem jakieś liczby. To nic, wpisz co trzeba, jeśli trzeba.

A teraz pojawia się pomysł często używany w matematyce gdy są ciągi i nie widać jakiejś oczywistej regularności. To nie jest lekarstwo uniwersalne na każdy ból głowy, ale czasami pomaga: zrób nowy ciąg z różnic kolejnych sąsiadów. Gdybym to zrobił z ciągiem pięciu liczb, który niedawno tu się pojawił (ten na niebiesko), dostałbym taki ciąg różnic:

O, z różnic kolejnych wartości w permutacji z S₅ zrobiliśmy permutację z S₄. Gdy coś takiego zdarza się, mówimy, że wyjściowa permutacja jest wdzięczna (graceful permutation).

Niewdzięczne jest odkrywanie ile ich jest. Na siłę (malutką, bez męczenia się) odkryjesz że dla n=2 są dwie, dla n=3 są cztery, dla n=4 są cztery i chyba nie będziesz grzebać się w 120 permutacjach z S₅, trzeba zacząć myśleć co zrobić, żeby się nie przepracować. Przypuszczalnie wymyślisz kawałek matematyki dotyczącej permutacji oraz nauczysz się programowania w jakimś prostym języku – i dowiesz się, że kolejne wyniki dla coraz większych n to 8, 24, 32. I wtedy zrozumiesz, że nic nie rozumiesz, bo ten ciąg z niczym znanym nie kojarzy ci się, więc pójdziesz na spacer do http://oeis.org czyli do The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (żywa encyklopedia ciągów liczb całkowitych). Zamieszkuje ją prawie 200 tysięcy ciągów, ale gdy wpiszesz twoje wyniki okaże się, że jest to ciąg z numerem A006967 (czyli ciąg-staruszek) i tak wygląda jego początkowych 15 elementów:

Ta początkowa jedynka stoi po to, żeby było ładnie, to nie wynik rachunków, a umowy, że z jedynej permutacji w S₁ nie da się zrobić żadnych różnic, czyli w jedyny sposób dostajesz „nic”. A reszta wyników, plus przeczytanie, że ludzkość zna tylko pierwszych 40 elementów tego ciągu, uświadamia jak łatwo jest zadawać proste pytania, na które wcale nie widać prostych odpowiedzi.

W szkole tego nie było, bo w szkole jest wzór na wszystko, a jak nie ma wzoru to dlatego, że taki zwierz nie istnieje.

Zamieszczony powyżej wpis jest kryptoreklamą eksperymentowania oraz programowania i wyraża przekonanie, że każdy może wymyślać matematyczne problemy.