Implozja pomysłu już w chwili jego poczęcia. Przecież tytuł powinien oznajmić w czym rzecz. Jeśli powiem, że w łączności, stanie w oczach krąg młodych szlachetnych obejmujących baobab albo inną szlachetną sprawę, a wyznać, że chodzi o aksjomat łączności to seppuku wpisu. Jak to zrobili w „National Geographic Magazine” gdy chcieli pokazać, że chwasty w ogródku to nie śmiecie a niezmierne bogactwo? Zdaje się, że napisali coś o „dżungli w ogródku”.

Może to i tędy  droga – „Głębia pojęć w braku nawiasów”? Ale najgorsze jest to, że człowiek wykształcony przez współczesne szkoły może nie mieć pojęcia co to jest „grupa”, choć z tą strukturą matematyczną tak często obcuje. Wdać się w wykładanie jej w blogu to też seppuku.

Może zacząć mówić i czytelnik nie zauważy, że nie wie co to jest? Przecież w tyle lektur wciągnięto mnie tą sztuczką...

Mniejsza o to. Po prostu, kto przeczyta, przeczyta. Ainsi soit-il.

Trzeba sporej odwagi, by pozwolić swej fantazji hasać w taki sposób. Nie mam pojęcia, czy w jego strzale jest jakaś substancja – sam nigdy nie zdołałem rozwinąć tego do czegoś sensownego, a z jego listy publikacji wygląda, że i on nie przetworzył błysku na papier. A szkoda. Te lekceważone postulaty są zupełnie jak Polska, zasługują na więcej.

Przemienność pokazała swą wagę gdy musiało jej zbraknąć, czyli gdy Hamilton (albo Grassmann, ja wolę Grassmanna, bo nie był Wunderkindem i był z prowincjonalnego Stettina) poszli do wymiaru 4, żeby zobaczyć co się dzieje w wymiarze 3. A o koncertowej roli łączności lekko ziewając uczą się studenci teorii grup gdy powtarzają pomysł Cayley'a z wrzucaniem jakiejbądź skończonej grupy w grupę permutacji. A stąd już tylko pół kroku do teorii reprezentacji, czyli zanurzania grup w macierze, bez którego to narzędzia trudno by było opowiedzieć połowę (a może trochę mniej, nie mierzyłem) współczesnej fizyki. Aha, może pamiętasz z niedawnego wpisu, że permutacjami nazywamy odwracalne funkcje na skończonych zbiorach.

A chodzi o rzecz pozornie oczywistą i bezbarwną. Prawo łączności dla mnożenia liczb: „dla wszelkich trójek liczb a,b,c mamy (ab)c=a(bc)”  jest akceptowane w szkole bez rozumienia czemu niby ma być zaakceptowane – albo z rozumieniem, że nauczyciel tak powiedział. I z rezygnacją przyjmuje się w definicji grupy, że jest tam zbiór z działaniem i pierwszym wymogiem jest łączność działania. Kto nigdy nie pobawił się działaniami bez łączności, uzna to za ceremonialne nudy.

Ale nie są nimi. Gdy Cayley czynił swoją obserwację, która dziś została kanonizowana i nazywa się błogosławioną obserwacją twierdzeniem, nie było jeszcze uzgodnionej definicji grupy ani, po prawdzie, obyczaju definiowania obiektów za pomocą formalnych wymogów, czyli postulatów. Ale chodziło wtedy o dobrze zrozumiałe praktyki, o składanie symetrii czy innych przekształceń geometrycznych, a składanie funkcji to taki bilet w kawałkach i jest zupełnie jasne, że zlepienie biletów w ten sposób

{(Rzeszów --> Wwa) i (Wwa -->Poznań)} i (Poznań --> Szczecin)

czy inaczej:

(Rzeszów --> Wwa) i {(Wwa -->Poznań) i (Poznań --> Szczecin)}

to ta sama jazda. To „i” jest działaniem składania i mogę (a także chcę) oznaczyć je symbolem „* ”.

Genialność pomysłu Cayleya polega na pomieszaniu przejazdów i biletów, potraktowanie ich jako równie dobrych zjawisk :)

Dokładniej mówiąc  – i wyprzedzając użycie pomysłu, który będzie za parę wpisów stąd bardzo, bardzo ważny we wprowadzeniu liczb zespolonych (tak, tak, promissa sunt solvenda) chodzi o coś takiego.

Zarodkiem konstrukcji jest spojrzenie na mnożenie dwóch równoprawnych elementów

 a·x

 w dziwny sposób: zafiksowuję pierwszy, i przebiegam wszelkie możliwości z drugim – wtedy mogę myśleć o wyniku mnożenia jako o działaniu funkcji oznaczonej tą samą literką a, na całym zbiorze, czyli mam funkcję

a(x)=a·x.

A wtedy łączność (a·b)·x=a·(b·x) (zafiksowane a oraz b, natomiast x przebiega zbiór) przepisuje się w takiej formie: 

a(b(x))=(a*b)(x)

– a to oznacza, że mnożenie w grupie stało się składaniem funcji. I jeśli dodać do tego prostą konsekwencję wymogu grupy (każdy element ma swój odwrotny, więc każda otrzymana funkcja jest odwracalna), wyjściowy zbiór z jego działaniem przeinterpretowaliśmy jako permutacje samego siebie z działaniem składania permutacji. Choć wyprzedza to o ponad stulecie książkę Hofstadtera, wyraźnie jest to w duchu „nielegalnych” przeskoków pojęciowych grających pierwszą rolę w jego (nagrodzonej Pulitzerem) „Gödel, Escher, Bach”.

Gorzki ma posmak uświadomienie sobie, że loty fantazji sprzed półtora wieku są dziś nudą rachunkową na parę stron ze standardowych kursów uniwersyteckich. O ile w ogóle ktoś życzliwie zgadza się studiować teorię grup. Eech, uchniem.