Parę miesięcy temu mówiłem, że prawdziwą zgagą na początku studiów kierunków ścisłych jest w algebrze liniowej definicja liniowej niezależności układu wektorów i zrobiłem co mogłem, by ułatwić zawarcie z nią rozejmu – ale nikt nie zapytał mnie na co i komu ona. Rozumiem, po przebiciu się przez szkołę ludzie wiedzą, że w matematyce pytań nie zadaje się. To tak jest od czasu świętej reguły o niedzieleniu przez zero (niedziel przez zero, poniedziałkuj jeśli musisz) i z wielu innymi pojęciami. Wydaje się, że spora część dorosłej populacji zachodniego świata wie o „zmienianiu znaku” przy „przenoszeniu liczby na drugą stronę”, ale gdy był właściwy moment na pytanie „a dlaczego?” sytuacja lokalna wskazywała, że lepiej nie pytać.

No więc odpowiem na niezadane pytanie: po co mieć liniowo niezależny układ wektorów?

Pomyślmy o języku dźwiękowym i jego zapisie. Taka najprostsza, naiwna wersja, gdzie nie ma ambicji wykazania przez zapis jaka była historia słowa od jego poczęcia i sugerowania pokrewieństw słów, ale po prostu chcemy zakodować dźwięk. I wymyślamy sobie alfabet. Do liter, nie do sylab. Każdy z nich da się jakoś wybronić, ale nie będzie dobrze jeśli będę miał nadmiar opcji i to zwierzę od mleka będę mógł zapisać jako krova albo qrowa albo qrova, bo odszukiwanie go w liście słów wydłuży się niepomiernie, a brat z siostrą i żona z mężem kłócić się będą który zapis jest słuszny i właściwy.

Więc możemy ustalić się przy jednym alfabecie, i będzie równie dobra κρoνα albo qrova albo krowa, ale lepiej nie mieszać ich gdy zaczęło się pisanie. Alfabet to taka baza zapisu. I przy wektorach też chcemy mieć bazę, czyli taką kolekcję wektorów, które dadzą dzięki kombinacjom liniowym wszystkie inne możliwe wektory, ale bez niejednoznaczności – a  ich niezależność liniowa to właśnie nam zagwarantuje. Bez niej powtórki, oboczności w zapisie są nieuchronne.

Chcemy więc mieć układ liniowo niezależny i maksymalny, czyli taki, że przy próbie powiększenia go owa niezależność by już została utracona. A liczba tych wektorów w zbiorze maksymalnym liniowo niezależnym wymiarem przestrzeni zwana będzie... Przepraszam, to z innego rozdziału Księgi.

Takie to proste ... Wiem, że magik pokazujący co ma w rękawie jest mniej szanowany od tego co śmiga królikami, ale ja jestem magik alternatywny: ja nie robię magii.

PS. B.G. opowiada, że dawno temu w Odessie  na drzwiach sali egzaminującego z algebry liniowej Marka Nikitowicza Szweca wisiała kartka z napisem: Niech tu nie wchodzi kto nie zna definicji liniowej niezależności.