Duchów nie widzimy. Jeśli dlatego, że nie istnieją, to nie mają szkieletów i marnuję Twój czas. A jeśli istnieją, rzecz może być w tym, że źle patrzymy. Nie wyćwiczono nas w dostrzeganiu ich. To by było naturalne gdyby nie te godziny oddawane duchologii we wszystkich szkołach w każdym tygodniu. Gada się tam i gada jak duchy kochać trzeba i jak one rządzą światem (z czym w zasadzie można się zgodzić), ale jak jest szansa na zobaczenie czegoś to mówią: „a teraz, kochane dzieci, nauczymy się taksonomii i pocztu wielkich duchów”.

Jaki by nie był psychologiczny czy materialny powód zdumiewającej przydatności matematyki, technicznie polega to często na tym, że problem pojawiający się w jakiejś dziedzinie przekłada się na język działu dość odmiennego, tam obłuskuje się z twardych łupin, rozwiązuje – i gotowe rozwiązanie wraca do wyjściowego obszaru. To jest postępowanie tak częste i naturalne, że staje się niezauważalne (pamiętasz instrukcję Cortazara chodzenia po schodach?) ale musi być dostrzeżone, by było dobrze użyte. Chodzenie po schodach, pływanie, wstawanie z łóżka mamy w pamięci mechanicznej, można działać bez zrozumienia procesu. Matematycznego opisu świata nie mamy w mięśniach, jeśli nie zrozumiemy jego konstrukcji, duch znika i opowiadamy potem historyjki, że duchów nie ma.

Im prostsze pierwsze przykłady, tym lepsza szansa na Twoje własne dodanie czegoś do tej listy, ale czasami prostota jest pozorna. Na przykład pojęcie kąta. Bardzo wcześnie jest potrzebne, a wcale nie jest proste, więc opowiada się w szkole jakieś banialuki o regionach między prostymi itp., a potem trudno to wyprostować. A nauczyciel ma za mało odwagi, żeby powiedzieć: na okręgu, w którym ustaliliśmy promień jako 1, kąt to łuk, skierowany w jedną z dwóch możliwych stron. W ostatnim stuleciu wybrano kierunek odmienny niż w tarczowych zegarkach. Counterclockwise, anti-hórario ... jak to krótko powiedzieć po polsku? Może kierunek niegodzinowy?

Więc przejście do kątów do liczb (zamiast łączyć łuki dodaję liczby) jest wczesnym mignięciem ducha, ale chwilowo o tym zapomnij, bo homomorfizm z R na S¹ nie jest tak całkiem prosty. A może i jest (po co ja Cię straszę?), przecież każdy umie nawijać nitkę na szpulkę. Ale popatrz na inne przykłady.

Moduł. Czyli wartość absolutna. Po ludzku mówiąc, odległość liczby od zera. Niby banalny wzorek, |a·b|=|a|·|b|.

Zamiast mierzyć iloczyn liczb, możesz wymnożyć miary.

Logarytm. Może być postawa 10. log(a·b)=(log a)+(log b).

Zamiast znaleźć wykładnik iloczynu, dodaj wykładniki dwóch liczb.

Wyznacznik. Czasami jest przyzwoicie opowiedziany w szkole, ale wątpię czy kluczowe twierdzenie Cauchy'ego jest pokazane choćby w najprostszym przypadku dwuwymiarowym, a to przecież elementarne sprawdzenie tej tożsamości (macierz M ma kolumny z a,b oraz c,d, macierz N – kolumny z r,s oraz t,u) :

(ad-bc)(ru-st)=(ar+cs)(bt+du)-(br+ds)(at+cu).

Tak zapisane nabiera wdzięku: det(M·N)=(det M)·(det N).

Wyznacznik iloczynu macierzy to iloczyn liczb (wyznaczników macierzy).

Trzy razy (a jak liczyć te kąty, to cztery) ujawnia oblicze homomorfizm, jedno z kluczowych pojęć współczesnej matematyki. Tak niezbędne jak pojęcia liczby, figury, odwzorowania, prawdopodobieństwa, grupy. Ale pozwala się, by zanikło w nicości i wmawia się ofiarom, że w matematyce najważniejsze jest liczenie. A gdy jakiś problem przez homomorfizm przerzucam na inne pólko, tam błyskawicznie odczytuję rozwiązanie i wracam z nim do sytuacji wyjściowej, patrzą dziwnie i nie wierzą. I chcą, żebym to pokazał przez rachunki. Ani mi to w głowie. Nie po to od kilkuset lat rozwija się matematyczne koncepty, żeby teraz tonąć w zbędnych wyliczeniach.