Ostrzeżenie: to nie jest donos o Kaszubach czy Żmudzinach i ich niepatriotycznych senatorach!

Powiedzmy, że już wiesz co to jest algebra liniowa i przekształcenia liniowe i ich zapis czyli macierze. A jak nie wiesz to kiedyś opowiem, a teraz chcę mówić tylko o wyznacznikach. Jakie macierze są małe? W wymiarze 1 nie ma zabawy, bo macierz to liczba w nawiasie, a jej wyznacznik to ta liczba, nuda jak na konwencji nie powiem jakiej partii. A w wymiarze 3 to tyle liczenia, że ludzie uciekają na studia menadżerskie i wyzysku czyli byznesu. Więc został jeszcze wymiar 2 czyli jesteśmy na płaszczyźnie.

Proste, ale nieprzyjemne spotkanie z wyznacznikiem następuje gdy siłowo rozwiązujesz w najogólniejszej możliwej formie system dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi. Taka szkolna mordęga, ale dobrze jest zrobić to raz w życiu, żeby wiedzieć dlaczego kochamy i cenimy macierze. Więc są sobie niewiadome x,y, lewe strony równań wyglądają z jakimiś współczynnikami a,b,c,d w ten sposób:

ax + by
cx + dy

a prawe strony w tej chwili nic mnie nie obchodzą, więc napisz sobie co zechcesz (jak wstawisz krokodyle, to w rozwiązaniach pojawią się krokodyle i ja z tym nie mam nic wspólnego), ważne dla mnie jest teraz, że wzorki na rozwiązania będą takie

(ad-bc)x = cośtam
(ad-bc)y = innecośtam

i widać, że rozwiązanie pojawi się przy dzieleniu cosiów przez ad-bc. Ale jest kultowy przesąd przeciw dzieleniu przez zero (zdaje się noga od tego odpada), więc widać, że jak ad-bc=0, to rozwiązania szlag trafił i rozumiemy, że ta liczba ad-bc wyznacza, rozgranicza dwa przypadki: rozwiążesz lub nie.

Jeśli dotrwałeś do tego miejsca, teraz będzie bonus. Szkice. To boli mniej niż równania. Masz kwadrat, mierzy on 1 i rozciągasz mu boki (a tak naprawdę dwa wektory, które go tworzą) tak jak liczba k („skalar”) każe. Relacja między polem nowej i starej figury to k·k:1.

Pod spodem jest macierzowy zapis tego przekształcenia i ukryty cel tego gadania to ułatwić ci zrozumienie skąd przychodzą na świat macierze.

A gdyby rozciągnąć (? a może skrócić?) jeden wektor w skali a, a drugi w skali d, relacja między polami otrzyma postać ad:1.

Ktoś, kto nie lubi kwadratów, mógłby nie tylko zmienić długości wektorów, ale i zmienić kąt między nimi. I wyszłaby z tego nowa figura, równoległobok.

Czy znając współrzędne wierzchołków tego niedbale rozwałkowanego kwadratu potrafię znaleźć pole nowej figury, a więc i relację między polami? Kupić, nie kupić, porysować można:

Licząc dwa razy pole dużego prostokąta (z bokami mierzącymi a+c oraz b+d), raz w całości, raz w rozbiciu na figurki, z których jest złożony, okazuje się, że

No właśnie. Wyznacznik macierzy z elementami a,b,c,d zdefiniowany jako różnica iloczynów liczb z jej dwóch przekątnych, czyli liczba ad-bc, mierzy relację między polami figury przekształconej i oryginalnej. (A jeśli wyszła liczba ujemna? Zdarza się. To znaczy, że w nowych wektorach od pierwszego do drugiego idzie się w innym kierunku niż w starych).  I gdyby był on zerem, nie byłoby widać równoległoboku, bo on by był zdechły. Ale w matematyce nie mówimy, że on jest zdechły, a że jest zdegenerowany.

Masz rację, u mnie nawet jak się zaczyna od macierzy to kończy się na Sodomie i Gomorze.

PS. Dlaczego takich szkiców nie ma w szkolnych podręcznikach? Chyba dlatego, że ich autorzy nie lubią dzieci, matematyki oraz pisania podręczników.