Zawsze mnie zastanawiało dlaczego większość matematyków "mainstreamowych" ma taką alergię na filozofię matematyki, a po prawdzie również na logikę matematyczną, badania podstaw - te wszystkie twierdzenia limitacyjne itp. Zauważyłem to już dawno studiując matematykę: pamiętam to nawet jako coś zabawnego - profesorskie miny kiedy na seminarium z dajmy na to z jakościowej teorii równań różniczkowych ktoś "pojechał" odrobinę w tą stronę.
A przecież niektórzy z wielkich z nienajgorszym powodzeniem ją uprawiali. Nie taką nadętą z ogromną ilością "izmów" ale naturalną - powiedzmy: pogłebioną refleksję nad przedmiotem którym się zajmują.
Olśniło mnie kiedy nie tak dawno temu pisząc jakąś - dosłownie - drobnostkę zażartowałem że logicy (ale i filozofowie matematyki) podchodzą do niej jak anatomowie do np. żaby. Rozciągają na stoliku, kroją i zaglądają co jest w środku. Z żabą to jeszcze pół biedy - ale kiedy ktoś przeprowadza sekcję na kochance, nie jest już zabawnie...

Jako prymityw zapytam prymitywnie, a czy to wszystko ie jest jednak zakotwiczone empirycznie w liczeniu jajec albo japc, jak nie przymierzając geometria w odmierzaniu pól?

Ja protestuję! Jak takie andsole wezmą się do podważania oczywistych oczywistości, to zaraz się okaże, że wcale nie mam czterech łap i jednego ogona, tylko jestem jakąś trójogoniastą stonogą.
Andsole, ręce precz od świętości w rodzaju 2 + 2 = 4! Bo trza by świętymi były!
Nie wprowadzajcie tylnymi drzwiami relatywizmu i nie tykajcie zdrowych jąder, które są istotą tkanki! Bo jak tkniecie, to nad zdrowymi jądrami może podnieść się taka fala protestu, która załatwi was i waszych wysługusów do dwa plus dwa równa się czwartego pokolenia!

"Propedeutyka mnie nie kręci." rzekła stonoga na widok Bobika.

Szedł sobie Bobik drogą i wesoło nucił: mam ci ogon, mam, komu go dam, komu go dam? Śpiew w molowej tonacji by był to, gdyby stonoga Bobik trójogon miała. Aż myśleć o tym nie chcę.

Gdyby Bobik miał studnicę
zamiast zwykłej dwunastnicy
jako hydrant by go bardzo
szanowano w okolicy.

Staję za 'gammon_no.82' -em. (Jak się te nicki odmienia?)

Podejście z "następnikiem" - to jedno z wielu. Nie wyklucza dobroci innych. Ba, inne - właśnie to "składanie do kupy" - jest bardziej pierwotne.

Można się spierać, które jest bardziej fundamentalne. Które odpowiada na pytanie "co to jest", a które na pytanie "jak się to dostaje".

Ba, no popatrz w "2+3", obie liczby są "składnikami". Nareszcie jakaś nazwa oddająca sens! Żebym się za bardzo nie radował, w "2*3" - są ... "czynnikami''.

No, to też ma sens, ale nieoczywisty, długo wyjaśnialny - "ach,dwójko, co czynisz trójce?!". Dwójka odpowiada - "to samo, co trójka mi czyni".

No, dobrze, ładnie się, dzieci, bawicie, tylko uważajcie na konsekwencje.

@andsol-br
I mogę zaproponować inną (zaręczam, że logiczną i pożyteczną, ale odmienną od używanej) konwencję mówiącą: plus ileś, powiedzmy n, każe przestawić wajchę o pół obrotu i zrobić jeden krok.

A to nie będą manowce semantyki zamiast matematyki? W sensie, że pod tę samą etykietę podłoży się słoik z inną zawartością? Możemy przykleić na słoiku z chrzanem etykietę "ogórki w occie", ale to nie zmieni zawartości słoika. Możemy nazwać dodawaniem jakąkolwiek inną operację, ale to będzie tylko przeklejenie etykiety.

Operacja "plus ileś" po zmianie etykiety będzie innym słoikiem z inną zawartością.

gammon: etykieta deprecjonuje? :) Oczywiście gdyby to było na tablicy czy na papierze, użyłbym znaczka podobnego, ale nie identycznego, żeby pomóc w chwytaniu (np. plus z czapeczką, LaTeX pozwala na takie zabawy, html nie), ale samo rozważanie jakie konsekwencje mają definicje działań wyśmienicie mieści się... o, pojawi się słowo podsunięte przez arturp, w głównym nurcie algebry. Dla dobra, czyli głębszego zrozumienia ich klasycznych wariantów. Gdyby np. nieprzemienność składania izometrii na płaszczyźnie była lepiej zrozumiana jako fenomen algebraiczny, może ów geniusz, William Hamilton, nie przebijałby się przez 10 lat do wymyślenia kwaternionów, jakże użytecznych w fizyce i matematyce...

A co do Twojej zręcznej analogii, to jak widziałeś, po otworzeniu słoika pierwsza warstwa była tak chrzanem jak i ogórkiem w occie. Nieprzyzwoicie alternatywna orientacja dodawania. A potem wszystko zależy od tego czy będziesz dziobał widelcem (prawo łączności) czy wajchą.

Gdyby Bobik miał studnicę
A w studnicy była nafta
Zrobiłby by se tam bóżnicę
Zawojował świat od zawtra


= = =
test2 (proxy, Momus2)

A ja powiem, że 2 + 2 = 10

Bo mi się tak jakoś dzisiaj czwórkowy system liczbowy podoba...

Gdyby Bobik zgubił ciało,
choćby nawet to skończone,
ciężko by mu się szczekało
i nie zawsze w dobrą stronę.

Lecz z Bobika sprytne zwierzę:
zawsze z ciała robi backup
i w potrzebie dane bierze,
by swobodnie dalej szczekać.

Raport z czasów muszkieterów.
Doszedłem w blogoandsoleniu się do
andsol.blox.pl/2007/11/Uczyc-ale-nie-do-przesady.html
i zapętlił mi się czas.
Oto w Antymatrixsie czytamy o ziszczeniu się kardynałowego proroctwa:
bendyk.blog.polityka.pl/2011/03/28/mlodzi-i-bezrobocie-cos-nowego/

Uczonych mamy za dużo. Nauczonych za mało.
To prawie tak jak zakonnica w mojej rodzinie o podsumowaniu studiów na KUL:
"Za mało było o zbawieniu."

Skarć Gospodarzu jeśli uznasz, żem nie na temat skrobnął ekran.

Momus: kiedyś cieszyłem się jak dziecko, że program w języku Icon pozwala mi tanim kosztem produkować wiersze z dużym ładunkiem symbolizmu, mistycyzmu i romantyzmu. Ale jak widać do dziś są kłopoty z generowaniem objawów poczucia humoru.

gammon: to ja uznałem analogię za zręczną. Dobra, by nie wdawać się nadmiernie w słoikologię: nastaję, że pojmowanie jak na różne sposoby znak "+" mógłby być pojmowany nie jest wodzeniem młodzieży na manowce a tylko lekko niestandardowym ćwiczeniem z algebry. Przecież olbrzymia część pracy matematyka polega na uchwyceniu nieoczekiwanych konsekwencji definicji, które w zamiarze miały opisać sytuacje znane i zrozumiałe. Jeśli połączyć to z meta-zasadą matematyki: co nie jest zabronione, jest dozwolone, wybronię zasadność mojego przykładu na "dziwne dodawanie". A jeśli nie zgodzisz się, że wybroniłem, wymyślę inny przykład, ale przecież wiesz, że gdyby nieortodoksyjne myślenie zawsze odganiać, to geometria hiperboliczna by zmarła przed narodzeniem.

staruszek: o ciałach z tą samą skończoną charakterystyką p, ale mających różnych ilości m,n elementów (oczywiście potęgi p, powiedzmy, że m>n): a pamiętasz, że dla każdej potęgi jest jedno jedyne takie ciało i jego grupa multyplikatywna jest cykliczna? Więc zabawa uda się jeśli n-1 dzieli m-1... Fajnie takie zabawy zapisuje się macierzami.

Co do Bendyka: wiele lat temu przygnębiło mnie odkrycie, że gdy w Danii zaczynało się bezrobocie, to dla wyciągnięcia z rynku pracy nieco młodzieży dawali stypendia do szkół średnich i uniwersyteckie. Czyli uczelnie były przechowalniami.

Wszędzie są i nigdy nie przestały być. Śpiewy o kwalifikacjach i przygotowywaniu do życia są chyba najbardziej cyniczną i ponadustrojową zagrywką w obecnych czasach. Przy okazji Egiptu zaczęto o tym mówić, a przedtem jak młodzi Francuzi protestowali, nic się nie mówiło. A gdzie nie ma krwawych protestów, nie robi się statystyk i problem nie istnieje.

Ech, te młode baranki, idące w Polsce na rzeź tylko dlatego, że rzeźnia tak ładne słowa ma w tytule: byznes, psychologia, administracja. Ilu domokrążców... przepraszam, specjalistów od marketingu zniesie jedna ulica w Koziołkowie Górnym?

O skrobnięciu nie na temat: autor jest właścicielem wpisu. Komentarze to nie jego księstwo, chyba że jest głupi, albo trzeba odeprzeć desant z Frondy.

aenigma: ze zbliżaniem się wiosny system czwórkowy wacht okresowych dla wielu osób robi się atrakcyjny.

@Andsol
Icon - ładny ale nie używałem. Poczucie humoru?
Zgubilem sie gdzies chyba.
Ze moje niby-wierszyki do d? I program wygenerowal
by lepsze? Oczywiscie, głownie chcialem sprawdzic
czy ID czy IP zablokowane, a pisać pusty "test" jakoś
nie wypada.
Ale co z humorem? To same rymy nie starczają?
A taki dumny z nich bylem.. :-)

@andsol-br
nastaję, że pojmowanie jak na różne sposoby znak "+" mógłby być pojmowany nie jest wodzeniem młodzieży na manowce

Ależ w życiu tego nie kwestionowałem / -łbym.

a tylko lekko niestandardowym ćwiczeniem z algebry.

Tylko czy właśnie z algebry, a nie z czegoś innego (semiotyki?).

Przecież olbrzymia część pracy matematyka polega na uchwyceniu nieoczekiwanych konsekwencji definicji

Tak, ale w tym przypadku mowa była raczej o sposobie zapisu. "Dwa plus dwa równa się cztery" znaczy to, co znaczy tylko przy założeniu, że "dwa", "plus", "równa się" i "cztery" też znaczą tylko to, co znaczyły do tej pory.

które w zamiarze miały opisać sytuacje znane i zrozumiałe.

No nie wiem, czy znane i zrozumiałe. Mnie raczej przekonuje metafora "szalonych krawców" Lema.

Jeśli połączyć to z meta-zasadą matematyki: co nie jest zabronione, jest dozwolone, wybronię zasadność mojego przykładu na "dziwne dodawanie".

To nie będzie dziwne dodawanie, tylko inny obiekt zaetykietowany jako dodawanie. Chyba, że w słoiku B będzie tautologia zawartości słoika A.

A jeśli nie zgodzisz się, że wybroniłem, wymyślę inny przykład, ale przecież wiesz, że gdyby nieortodoksyjne myślenie zawsze odganiać, to geometria hiperboliczna by zmarła przed narodzeniem.

Ale przecież to jest właśnie przykład, kiedy na poziomie aksjomatów robi się coś nieintuicyjnego (i raczej niezrozumiałego).

W ogóle to powinienem się wytłumaczyć: jestem z matematyki cienki, jak monomolekularna błona na wodzie plus dziury, jak ser szwajcarski. Brnę właśnie z trudem przez Kodeks Archimedesa (nie nie, nie w oryginale). Więc proszę nic trudniejszego.

gammon: jestem przekonany, że rzeczy nie biorą się z abstrakcyjnych aksjomatów, a ze studiowania konsenkwencji takich formalizacji, które początkowo wydają się tarczą ochronną przeciw nieporozumieniom i próbą uchwycenia esencji zjawisk. Wolę tak widzieć pojawianie się postulatów, a mam na oparcie tego poglądu ogląd cudzej i własnej praktyki matematycznej.

Co do metafory "szalonych krawców" była na ten temat tutaj długa, poważna i wartościowa rozmowa z udziałem dobrych specjalistów, naprawdę warto przegryźć się przez nią.

A zarzekałem się, że nie jest moją intencją coraz głębsze wdawanie się w filozofię :) Mówisz o zjawiskach fizycznych, jak gdyby co ich dotyczyło miało inny status matematyczny od tego, co z takimi zjawiskami nie było łączone. Ale od najwcześniejszej konstatacji o zjawiskach fizycznych mamy do czynienia ze światem konceptów, gdy o liściach na ziemi mówimy o ich ilości, barwie, wadze, to już są modele obracane mentalnie. Nie sądzę, byś miał zdołać zakreślić w matematyce cezurę: dotąd jeszcze związek ze światem materialnym (fizycznym), odtąd abstrakcyjne koncepty. Weszło do głowy, ideą się stało, wyszło na zewnątrz jako model rzeczywistości, nie rzeczywistość. A jak silny istnieje związek to już sprawa dostrzegania odbiorcy, a nie modelu.

Przy okazji, piszesz o lekturze Kodeksu Archimedesa, książki nie znam, w recenzjach jest spora zachęta dla książki popularno-naukowej z tchnieniem tajemnicy, ale głupotką jest zwrot (nie wiem czy autora czy też niezręcznego tłumacza), że Archimedes dał początek rachunkowi różniczkowemu i całkowemu i położył, wprost nie do uwierzenia, podwaliny kombinatoryki, nauki leżącej u podstaw teorii prawdopodobieństwa.. Rachunek różniczkowy i całkowy to nie zbiór idei, które mogły doprowadzić do czegoś, ale fakt naukowy i społeczny, osadzony w wieku XVII. Podobnie z kombinatoryką, rozwijaną w ciągu paru wieków. Z największą pewnością (na podstawie znajomości niezaginionych prac Archimedesa) nie mógł on mieć idei Wallisa, Descartesa i wielu innych uczonych ze świata zupełnie innego paradygmatu - był matematykiem osadzonym w świecie greckich pojęć. Być może upowszechnione i rozwijane jego idee doprowadziłyby do rozwinięcia czegoś dość podobnego czy równoważnego, ale rachunek różniczkowy i całkowy to dużo więcej niż greckie kiełkujące pomysły o przybliżaniu krzywych i figur prostszymi tworami, tam jest wbudowana olbrzymia ilość pomysłów pochodzących od licznych myślicieli z dużej części Europy.

Sensowne by może było powiedzenie: "gdyby takie to a takie idee Archimedesa weszły do obiegu i były używane przez uczonych, mielibyśmy w starożytności podwaliny tego i tamtego". A użyte wyrażenia są wyrazem jakiejś naiwnej wizji geniusza, który bez połączeń z całą nauką tworzy ją sam z siebie. Nie twierdzę, że taki zwierz nie może istnieć, ale jak dotychczas go nie opisano. Krótko mówiąc: nauka to sport zespołowy.

No weźmy Twojego geodetę - często korzysta on z rozmaitych własności geometrycznych, do wyznaczania odległości, kątów czy innych miar których wprost nie potrafi zmierzyć taśmą. On sobie doskonale poradzi bez liczb niewymiernych, ale za pomocą samej taśmy mierniczej pewnie nie byłby w stanie sformułować czy udowodnić twierdzenia Pitagorasa czy innych trygonometrycznych zależności z których tak chętnie korzysta. Można oczywiście nie abstrahować i nie kombinować, trzeba tylko kupić odpowiednio długą taśmę :)

..."w międzyczasie" matematyka oderwała się od swoich fizycznych źródeł. Chyba żartujesz. Matematykę wspaniale rozwijały tak francuska Szkoła Narodowa Mostów i Dróg jak niemieckie Techniczne Wyższe Szkoły. Gdy docieramy do wieku XIX, istniejąca matematyka jest tak rozległa i ważna, że greckie dziedzictwo jest szanowanym i cenionym budynkiem w matematycznej dzielnicy. A dzisiaj to rozrosło się do potężnego miasta (klasyfikacja działów matematyki, intensywnie dziś rozwijanych, publikowana przez American Mathematical Society, ma kilkadziesiąt stron) i to, że do niektórych pięter niektórych budynków dociera się ze sporym trudem, kosztem paruletniego nakładu energii i talentu, nie oznacza braku zastosowań czy użytku. Po prostu niesłychanie daleko posunęliśmy się na drodze, która zaczęła się w klasycznych cywilizacjach.

Co do Lucio Russo, zainteresował mnie dostatecznie, bym go kupił i podczytywał, ale sam tytuł, Zapomniana rewolucja osadza obiekt jego rozważań we właściwym miejscu. Skenografia mogła mieć materiał genetyczny perspektywicznego rzutowania, ale nie doprowadziła do powstania geometrii rzutowej i przestrzeni Grassmanna. Plutarch mógł mieć wpływ na Newtona, ale przypuszczam, że Hooke, Wallis, Kartezjusz mieli niezrównanie większy. Więc "inne zdanie Lucio Russo" może znaczyć, że za mocno się przywiązał do swoich odkrywczych i wartościowych tez, które nie powinny mu zasłaniać zbiorowego wysiłku tysięcy po-greckich umysłów.

Co do intuicyjności pojęć, to wchodzimy w świat socjologii i psychologii. Dzisiejsze dzieci miejskie, przyzwyczajone od przedszkola do kolorowych wykresów, przeciągające myszką po monitorze, mają intuicje znacznie odmienne niż dzieci z XIXwiecznej Galicji. Więc może lepiej w tym temacie nie otwierać jeszcze jednej, trudnej i złożonej tematyki.

Autorytet Hardy'ego przekonuje mnie w kwestiach teorii liczb, jego (i Wrighta) An Introduction to the Theory of Numbers mam na półce i konsultowałem dziesiątki razy. Owszem, mam też A Mathematician's Apology i zawsze, gdy bardzo dużej klasy specjalista dzieli się refleksjami o metodzie, materii i filozofii, warto zerknąć, ale z daleka nie było mi to taką fascynacją jak Ulama Adventures of a Mathematician czy Roty Indiscrete Thoughts. To najdelikatniejsza recenzja idei Hardy'ego.

Ciekawe. Obrzeże. Reviel Netz (gdyby wyciąć fascynację, że ktoś bogaty a nieznany strasznie drogo kupił "Kodeks Archimedesa", to książka by się zrobiła cienka, prawda? Wiem, bo podczytałem dany przez Amazon jej podgląd), Lucio Russo, fraza Lema, fraza Hardy'ego - to daje (powiedzmy) ogładę ogólną, ale lektura historii idei (a dziś jest mnóstwo świetych książek o historii rachunku różniczkowego, rachunku tensorowego, algebry liniowej, struktur algebraicznych, teorii grafów itd. itd. itp) daje głębsze zrozumienie procesów współbiegnących z całą zachodnią cywilizacją i zgodnych z dość zdroworozsądkową filozofią, w której abstrakcja jest narzędziem a nie wybrykiem.

przychodzi człowiek o baaardzo specyficznym umyśle, który bawi się operacjami przekształcania abstrakcyjnych obiektów w inne, "nad-abstrakcyjne" - a wiesz, teraz to przychodzi całkiem sporo takich ludzi, bo muszą coś publikować. Ale jeśli poczytać wspomnienia matematyków rosyjskich, gdzie tradycje były wspaniałe i zdrowe (poczynając od tekstów Arnolda), widać ciężką pracę nad zrozumieniem działania natury - taką pracę jak u Newtona i współczesnych mu) a bardzo mało bawienia się operacjami.

Chyba rzecz w tym, że czytając dobry tekst dobrego autora człowiek nie wiadomo kiedy wspina się na poziom ponadszkolny :) Cytowanej książki Stewarta nie znam, ale wszystko jego, co dotychczas czytałem (ściśle matematyczne i popularyzacja) to doskonały poziom i przypuszczam, że i ten tekst jest tej klasy. A że nie wszystko rozumiesz? Nie pamiętam czy już czytałem taką książkę, w której wszystko rozumiałem...

Jak będzie trzeba, to policzę strony polskiego wydania. Nieeeee, nie będzie trzeba. Wierzę, że całość jest lepsza niż zachęta w Amazon i jeśli kiedyś będę miał ją bliżej siebie (żeby nie płacić $12.49 tylko za jej doręczenie) to może się do niej dobiorę i podziękuję Ci za wskazówkę.