Ledwie zadałem pytanie „jak definiujemy hiperbolę?”, rozwalony na krześle student gładko odpowiada: „no właśnie, ja nigdy nie rozumiałem definicji hiperboli”. Zręcznie. Moja wina, powinienem był zapytać „co to jest hiperbola?” i znikłyby opcje bełkociku o „rozumieniu”, po prostu powiedziałby coś od rzeczy, pokazałbym mu czemu jego definicja nie uszczęśliwiła mnie i przeszlibyśmy do następnego tematu. Czasami staram się coś dodać o niestosowności wplątywania tu „rozumienia”: „jak nazywa się człowiek na tym portrecie?” „Nie wiem, nie znam go.” „Mówisz nie wiem, a przedtem mówiłeś nie rozumiem. Czy te zdania znaczą to samo?” Po paru chwilach czuję wyrzuty sumienia, że tak go torturuję nakłanianiem do myślenia. I wiem, że przy przesadnym nacisku przypomni mi, że to jest matematyka i on pamięta różne wzory i chce pytań na temat wzorów.

Śmieszne, ale są spore szanse, że pamięta coś, co jest zupełnie podobne do wzoru opisującego hiperbolę, no, może dwie czy trzy literki w niewłaściwych miejscach i jakieś ozdobne strzałki, na których nie znam się, ale on je pamięta ze swojej szkoły.

Jakie by to było piękne gdyby (mówmy o polskich warunkach, bo zjawisko jest tu i tam identyczne) można było wyrwać z paru przedmiotów po piętnaście minut na tydzień, powiedzmy z matematyki, polskiego i religii, i zlepić je w lekcje ćwiczenia definicji. Spotkań ożywionych, głośnych, ze śmiechem i przekomarzaniem się. Spróbuj zastosować to gdzieś. Wrzuć parę słów, zacznij od niby łatwych, skończ na niby trudnych. Krowa. Owad. Mieszkanie. Doświadczenie.

A skoro i religia włożyłaby tam swój czasowy wkład, niech pojawią się słowa z liturgii i teologii. Dodajmy haust, święty, łaska. Będzie wiele radości.

Po kilkudziesięciu godzinach ćwiczeń uczniowie zaczęliby używać nie tylko te 10 procent mózgu, o których wszyscy wiemy, ale i pozostałe 90 procent, które im szkoła usypia. Sami siebie by nie poznawali w lustrach. I opowiadaliby, że nigdy nie spodziewali się, że filozofia jest taka fajna.

A życie wykładowcy tak proste by się stało, że mógłby przyznać wtedy, że ta teoria o prostocie definicji nie jest tak zupełnie, zupełnie dobra, bo czasami pojawiają się definicje przysparzające ludziom ból głowy.

To chyba nie zdarza się w szkole. Najczęściej spotykany schemat: jeśli z b coś się dzieje, to mówimy, że mamy c miewa drobne odmiany, czasami używa się w definiującym warunku alternatywy albo koniunkcji, ale to nie boli. Pierwsza, naprawdę kłopotliwa definicja matematyczna wyskakuje w kursie algebry liniowej, gdy wprowadza się liniowo niezależny układ wektorów. Straszna zgaga, bo nie używa schematu jeśli r to s ale jeśli zawsze z r wynika s, to t. A ponieważ książki i wykładowcy spieszą się i podają krótką (tak, tak, elegancką i poprawną) definicję, bardzo często student ją wykuwa, ale w istocie nie rozumie o co tu chodzi.

Nikt nie woła o pomoc? Nie szkodzi, ja jestem taki harcerz, co musi przeprowadzać staruszki na drugą stronę ulicy. Nieważne czy one tego chcą.

Postaram się mówić jakbyśmy byli w X wieku, prawie żadnych symboli, wszystko opowiadane słowami,  jak w jakimś romansie. Jesteśmy na płaszczyźnie albo w przestrzeni, wektory to są takie zapałki bez grubości (łepek pokazuje w którą stronę on jest skierowany), umiemy je wydłużać w każdej skali („mnożenie przez liczby dodatnie”) i obracać łebkiem w drugą stronę („mnożenie przez minus jeden” – zmiana zwrotu czyli tworzenie wektora odwrotnego), a także dodawać je do siebie, dostając „krzywe łamane”. Coś, co łączyłoby początek pierwszego z końcem ostatniego nazywałoby się ich sumą. I mamy w ich gronie jeszcze wektorka-dziwadło, zerowego. Po prostu punkt.

Jeśli jeden wektor jest przedłużeniem drugiego, to jest od drugiego zależny. A drugi zależny od pierwszego. Bo wystarczy jeden z nich, by utworzyć drugi. Gdy weźmiemy trzy wektory, różnie to może być. Potrafię wydłużając je czy skracając czy zmieniając zwroty z dwóch zrobić trzeci? No to trzeci jest zależny od tamtych. Ale który jest trzeci? One mogą wszystkie uważać się za pierwsze. I jeszcze jeden drobiazg, jeśli ten trzeci jest po prostu wydłużeniem drugiego, tego pierwszego w ogóle nie używałem. Jak krótko i prosto opisać wszelakie możliwości?

Tego bez symboli nie potrafię zrobić. Ale symbole nie będą skomplikowane. Jeśli ten trzeci ma na imię t, to mogę go zapisać jako 1·t i w równaniu zapisującym to, że 1·t jest sumą jakichś innych dwóch porozciąganych czy nie, mogę z obu stron dodać (-1)·t; wtedy z jednej strony pojawi się wektor zerowy (bo  dodawanie 1·t+(-1)·t to jest wracanie do punktu wyjścia), a z drugiej strony stoi suma trzech wektorów mnożonych przez jakieś liczby. I to jest ta sztuczka, gdy przestaje być dla mnie istotne, że jedna z tych liczb (z tych skal) wynosi właśnie -1 (ale – bardzo ważny moment – przynajmniej jedna z tych liczb, mianowicie -1,  nie jest zerem; powtarzam: któraś z tych liczb jest różna od zera). Dobra sztuczka,  bo mam tu prosty opis, bez zastanawiania się nad kolejnością wśród wektorów: znajduję wewnętrzną zależność tego układu wektorów, gdy potrafię złożyć je w linię łamaną, która się zamyka. W przypadku trzech wektorów to znaczy po prostu, że mogę z dwóch równoległych zrobić powrót do punktu wyjścia albo z trzech zamknąć trójkąt. Suma ich trzech z jakimiś współczynnikami, gdzie musiałem użyć czegoś odmiennego od zera, dała wektor zerowy.

Nic mi nie przeszkadza w myśleniu o układzie jakiejkolwiek ilości wektorów. I mnożeniu ich przez jakiekolwiek liczby ale nie same samiutkie zera – czyli po zagwarantowaniu, że choćby  jeden z wektorów  próbowałem ruszyć z punktu (no, gdyby on był wektorem zerowym, nic z tego nie wyjdzie, ale to też znaczy, że jeśli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to zawsze jest zależny, nieważne jakie są pozostałe wektory). Czyli w języku algebry: udaje mi się przy użyciu pewnych współczynników liczbowych, z których przynajmniej jeden nie jest liczbą 0, dostać jako sumę wektor zero.

No to już wiem jak jest z układem zależnym, a teraz trochę slangu zawodowego. Po pierwsze, na upartego  „dodawanie” dotyczy liczb, a nie wektorów, a przynajmniej ktoś kiedyś chciał odróżnić terminami te sytuacje – i przyjęło się mówienie o kombinacji a nie o sumie wektorów. Po drugie, gdy bierzesz najprostsze równanie, pierwszego stopnia: ax+by=0, z niewiadomymi x,y, to graficznie wyznacza ono linię prostą. Stąd kolejna umowa, że gdy nie ma jakiegoś „mnożenia” wektorów przez siebie, one występują „w pierwszych potęgach”, mówimy o kombinacji liniowej. I to już zaczyna brzmieć mądrze:

układ wektorów jest liniowo zależny jeśli jakaś ich kombinacja liniowa (z przynajmniej jednym współczynnikiem niezerowym) jest wektorem zero.

Świetnie. Ostatni krok, żeby otrzymać definicję niezależności liniowej układu wektorów (bez której nic ważnego nie da się zrobić w algebrze liniowej) polega na dorzucenia przedrostka nie, czyli na użyciu negacji, zaprzeczenia zdania. A jak zrobić zaprzeczenie zdania „jest taki układ liczb, wśród których nie wszystkie są zerami, że coś tam coś tam”? Ano (niedostępna dla polityków i rzadka u dziennikarzy) sztuka zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami podsuwa rozwiązanie: dla każdego układu liczb, jeśli coś tam coś tam się zdarzyło, to one wszystkie muszą być zerami.

No i mamy tę wyglądającą na chropowatą i nieprzyjemną, ale w istocie najpiękniejszą wśród kandydatek, definicję liniowej niezależności układu wektorów:

jest on niezależny jeśli dla każdej ich kombinacji liniowej wytwarzającej wektor zerowy mamy wniosek, że w istocie wszystkie współczynniki liczbowe w tej kombinacji musiały być zerami.

Geometryczny sens: z takim układem jedyny sposób na wrócenie do punktu wyjścia jest nie wychodzenie nigdy z niego.

A zapis symbolami (jak już rzekłem, elegancki i poprawny) znajdziesz w każdym, ale to każdziutkim, podręczniku algebry liniowej.