Zapytał mnie wieczorkiem dnia 13 stycznia Krzysztof Nawratek:

A czy ja mogę mieć prośbę do autora? Czy może być jakiś przystępny wykład o pochodnych i filozofii i skąd się w ogóle Leibnizowi to-to wzięło? Proszę o wykład przystępny, bo właśnie sobie uzmysłowiłem, że choć w liceum byłem w klasie mat-fiz, to to było ponad 20 lat temu, i dziś już prawie nic z tego nie pamietam... i strasznie mi się smutno zrobiło, bo jakieś takie poczucie straty...

Dziś jest 18 stycznia i Krzysztofowi odpowiadam. Szybko? Oj, nie bardzo. Ta jego uwaga jest sprzed trzech lat.

To nie z lenistwa takie ociąganie się, a ze świadomości ogromu zadania (czyli jednak z lenistwa). Wiele podręczników analizy matematycznej (vulgo rachunku różniczkowego i całkowego) miałem w ręce, a takiego wstępu, wyjaśniającego co i po co, nie widziałem. Owszem, bywają wstępy wyśmienite, ale ani krótkie ani przystępne. Może dlatego, że dbając o przystępność, czyli unikając wymądrzania się, łatwo się wygłupić.

Kiedyś ucieszyłem się, że wykręcę się linką, bo w Sieci wysławiano bardzo popularny tekst krajowego pochodzenia, podobno studenci go uwielbiali. Zajrzałem i przebrnąłem przez parę stron wulgaryzmów, użytych do utytłania niedbale przedstawionego zwykłego wykładu. To jakby przekonanie kucharza, że twardy kęs mięsa, po obsypaniu stęchłą mąką z pieprzem, staje się jadalny. Nie, moje pojęcie o przystępności nie polega na tym, by w bramie ustawić grono prostytutek. Więc jednak trzeba brać się do mówienia po swojemu.

I tak mam szczęście, że pytanie jest o pochodne, a nie o analizę całą, bo nie ma ogólnej zgody co do niej należy a co nie. Ale o tym da się kiedyś powiedzieć osobno. Zauważ tylko, że niektóre podręczniki włączają trochę geometrii analitycznej, inne uważają, że człowiek ma to już znać przy wejściu. Jedne dochodzą do analizy niestandardowej, równań różniczkowych i technik numerycznych przybliżeń, a inne tłuką tylko sposobiki całkowania. To chyba znaczy, że dziedzina jest jeszcze młoda i może poddać się wielu wewnętrznym przemianom.

Uniknę też wdawania się w motywacje Newtona i Leibnitza. Uczciwie zrobione to może być bardzo zawikłane. I wiele musiałbym douczyć się o tym jak dochodzono do prostoty. O ile milej brać się za przedmiot w stanie, w jakim pojawił się gdzieś po roku 1930, gdy już był pewien konsensus co to jest zbiór, funkcja, krzywa i jak używać rachunku zdań do przekazu matematyki.

Gdzie zacząć? Powiedzmy, że jest jasne, że funkcja to szczególny opis zależności, jednej przyczynie przypisuje jeden efekt. Najczęściej przyczyny i efekty są skwantyfikowane czyli przetworzone na liczby. Od takiej ilości opadów w ciągu dnia taki to mamy przyrost wysokości róży. Potem okazuje się, że zależność od wielu przyczyn też da się tak opisać za pomocą sztuczki językowej, mówi się jednym zestawie przyczyn (zmiennych) czyli np. o ich wektorze, to samo można zrobić ze skutkami. Ale to dużo później, najpierw trzeba opanować jak najprostsze zjawiska.

Poważny kłopot leży w tym, że gdy zaczynamy pracę, mamy pewne (zbiorowe) doświadczenia, już są przewidywania dotyczące metod i one ograniczają zakres naszych możliwości. Może takie nieudolne porównanie: zamierzam zgromadzić w pokoju wiedzę, myślę o książkach i przygotowuję regały. Ale dostarczają mi informacje w gadających ślimakach, każdy z nich wie wiele i chcą współpracować w zamian za sałatę ale odmawiają siedzenia na metalowych regałach. Klops z biblioteki.

Otóż część naszego dziedzictwa jest naszkicowana na tych naiwnych ale ważnych szkicach.

Rozumiemy co to znaczy, że linia (prosta) jest styczna do linii okręgu. Jej nachylenie na płaszczyźnie mówi mi prawie wszystko w której części (do wyboru – dolnego czy górnego) półokręgu jest ona przyklejona do kółka. A „bardzo” blisko punktu kontaktu są prawie nierozróżnialne. I coś mi świta, że opis liczbowy linii prostej jest dużo prostszy niż opis półokręgu, więc pojawia się pierwszy ważny obiekt pożądania: dla każdej zakrzywionej linii chciałbym umieć w każdym punkcie dolepiać styczne linie proste.

A teraz mierzenie. Linię łamaną mierzę łatwo, dodaję segmenty tworzące ją.  Najprostsza linia niełamana to obwód okręgu. Nieważne o jakim promieniu, twierdzenie Talesa sugeruje, że jeśli poradzę sobie ze zrozumieniem co znaczy „długość linii okręgu z promieniem 1” to z każdym innym promieniem też będzie łatwo, te wymiary będą tak proporcjonalne jak wymiary promieni. No i mamy pozornie prosty pomysł przybliżania linii okręgu „coraz lepiej” przylegającymi krzywymi łamanymi.

Wcisnąłem w kółko figury regularne („takie same” boki i kąty) z 6, 12 i 24 bokami. Ten ostatni przy rozdzielczości monitora zdaje się zlewać się z okręgiem – a to ma być proces nieskończony, tak świetnie przybliżający okrąg, że w paru cugach ani bakteria tam się nie wciśnie. No i długości łamanych rosną, rosną, ale nie za bardzo. Coś je ogranicza. Granica... Od użycia pomysłu do jasnego opisu co tu się dzieje minęło dwa tysiące lat z hakiem i ostatnio na politechnikach jest moda na powrót do starożytności, czyli wyjaśnia się co znaczy granica byle jak, byle umieć ją obliczać. A przy takim podejściu łatwo umknie oku, że ta liczba, którą dostaniemy, 2π, jest nowym bytem. Przywołaliśmy ją do kolektywu, do pracy w kółku.

A potem pojawia się genialny pomysł z poszatkowaniem dwóch półkółek i złożeniu ich w „prawie” prostokąt:

Im więcej łupek z kółka z promieniem 1, tym bardziej długość „prostokąta” podobna jest do π a wysokość – do promienia. Jeśli promień to r, obwód okręgu też wydłuża się w proporcji r  i szkolna moda każe zapamiętać „wzór na pole koła z promieniem r” jako π·r², ale sugerowałbym raczej myślenie o 2π·r²/2, bo jeśli zamiast całego koła z pełnym kątem 2π weźmiemy wycinek z kątem α to widać jak byk, że ten wycinek będzie mierzył α·r²/2.

A w dodatku lubimy okręcać kółko na palcu i wiemy gdzie ten palec ma kółko podtrzymywać, żeby talerz nie spadł, ale gdyby to była taka figura:

coś mówi człowiekowi, że da się gdzieś to podeprzeć, żeby sobie wirowało, ale gdzie?

No i zaczynamy mieć zupełnie niezły koncert życzeń. Ale teraz zaczynają się schody. Bo definicje „stycznej do okręgu” mamy aż dwie, i obie są nic nie warte dla innych krzywych. Inne krzywe nie mają ani środka, ani promienia, więc co jest warte gadanie o prostej odległej od środka o długość promienia – a złośliwych przykładów niestycznych a mających dokładnie jeden punkt wspólny z krzywą każdy wyprodukuje ad libitum. Podobnie ze styczną, która w jednym miejscu dotyka jak puszek krzywej, a potem, w innym miejscu brutalnie ją kroi tyle razy ile chce. Więc zaczyna się wielka walka o zdefiniowanie tego, czym ma być styczna.

Streszczając długą i pracowitą przechadzkę: wybory naszych modeli i pożądań upychają nas ku konieczności dobrego zrozumienia co to jest granica (dla ciągów intuicja jest prosta: ciąg ma granicę jeśli jest „coraz bardziej” podobny do ciągu stałego). Potem ciągłość funkcji – tu zauważę, że dawny obyczaj ględzenia o nieprzerywającej się linii to nie jest dobry sposób, bo jak weźmiemy naprawdę dobry zoom, to wkrótce będziemy oglądali coś mniejszego od elektronów i jak tu rysować linię ciągłą; tu trzeba po prostu poradzić sobie z topologicznym pojęciem, że przeciwobraz sąsiedztwa pożądanego efektu zawiera jakieś sąsiedztwo badanej przyczyny. A gdy mamy już granicę funkcji, to pewna konstrukcja wyjdzie albo nie – jak wyjdzie, powiemy, że funkcja jest różniczkowalna. I tej metody opisanej w definicji nikt nie używa poza dręczeniem studentów głupimi ćwiczeniami, bo robi się zupełnie inaczej. Dość prosto znajduje się wynik konstrukcji, pochodną dla najbardziej podstawowych funkcji: stałej, tożsamościowej, sinusa, wykładniczej (choć tu są pewne drobne klocki), a potem pokazuje się, że jak funkcje mają pochodne, to mają je także wyniki działań arytmetycznych wykonanych na funkcjach, mają je złożenia funkcji (bilet kombinowany, jedź dalej) i (o ile nie dzielimy przez zero) mają je funkcje odwrotne. I na te wszystkie przypadki są łatwe wzorki o zrozumiałej genealogii.

Więc pytanie w tym co to za konstrukcja? Intuicja jest prosta: cięciwy na krzywej, gdy jeden punkt jest zatrzymany, a drugi „zbliża się” do niego, przybliżają się do linii, którą dało by się nazwać styczną. Ale nie umiemy przechodzić do granicy z cięciwami. Więc myślimy: za każdą cięciwę jest odpowiedzialny kąt, który ona tworzy z poziomem, może przejdziemy do granicy z kątami? Niestety, znaczenie czegoś takiego też nie jest jasne. Ale funkcja tangens jest odwracalna, jak znam jej wartość, znam kąt. I mogę przejść do granicy... z tangensami kątów tworzonych przez cięciwy. Granica to jakiś tangens. Ten tangens daje pewien kąt. Ten kąt daje pewną linię prostą przechodzącą przez rozpatrywany punkt na wykresie funkcji. Voilà, mamy definicję, której potrzebowaliśmy.

Zabawne, że dawno, dawno temu, gdy autorzy książek chcieli być zrozumieni, czyli brali udział w zabawie „popatrz – widzisz?”, czasami zamieszczali taką machinę do rysowania pochodnych, a student nawet nie znając pojęć mógł ją sobie wykreślić. To ważne, bo jeśli pomyślę o interpretacji, że dzielę przyrosty efektów przez przyrosty przyczyn, w prostym przypadku funkcji „przebiegnięta droga zależy od czasu”, pochodną rozumiemy jako szybkość ruchu. Czyli mając grafik zależności drogi od czasu potrafię nakreślić zależność szybkości od momentu.

W układzie współrzędnych rysujemy kółko o promieniu 1 z mnóstwem pomocniczych promieniście rozchodzących się linii – chodzi o to, by przecinały one oś pionową. Naszkicowaną na fioletowo funkcję zastąp przez swoją (półprzezroczysty papier czy kalka techniczna czy cóś). Pokażę jak znaleźć tylko jeden punkt wykresu pochodnej, po powtórzeniu procedury dużo razy (dużo to 10 albo 20 albo 50...) mamy pojęcie jak biegnie pochodna.

Kolejność kroków: 1. wybieram punkt na osi; 2. znajduję nad nim punkt wykresu funkcji; 3. kreślę na „mniej-więcej” linię styczną do wykresu w owym punkcie; 4. odnajduję w pomocniczym pęku linię do niej równoległą; 5. znajduję wysokość przecięcia przez tę linię pomocniczą osi pionowej – tak, oczywiście, to jest tangens kąta, bo druga przyprostokątna to 1); 6. nanoszę tę wysokość nad punktem z pierwszego kroku.

Prośba była o pochodne, nie o całki. Na szczęście, bo Blox by mi zablokował rozgadanie się. Ale mogę powiedzieć, że sumy całkowe Riemanna, czyli rozbicie pólka figury pod wykresem funkcji między dwoma punktami a oraz x (rozważamy najprostszy ale wystarczająco ogólny schemat) mają jakąś granicę przy coraz staranniejszym szatkowaniu pólka. I to jest „całka oznaczona”. A jeśli teraz zacznę zmieniać pozycję x-a, czyli powiększać pole, to mam nową funkcję. I chwilka zastanowienia się pokazuje, że szybkość przyrostu tej funkcji jest mierzona właśnie wyjściową funcją ograniczającą od góry pole. Czyli pochodna  funkcji mierzącej przyrost pola to nasza wyjściowa funkcja. To jest zupełnie niesamowite – i stwierdzenie to w pełni zasługuje na nazwę podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego, bowiem przybliża do wykonalności zadanie mierzenia pól, długości krzywych, znajdowania środków ciężkości figur itp. itd.

Czemu to wszystko było takie ważne? Z dwóch przyczyn. Po piewsze, pojawienie się tych technik rachunkowych przyniosło unię technologii i nauki. Za wyjątkiem nielicznych a rozbębnionych w szkołach przypadków, przez długie wieki technologia olewała naukę. A od owego momentu, czyli od drugiej połowy XVII wieku olewanie nie było opłacalne. I pojawiły się Wyższe Szkoły Budowy Dróg i Mostów, rozwijające analizę matematyczną aż palce lizać.

A po drugie, równanie różniczkowe to takie wyrażenie, które mówi coś jednocześnie o funkcjach i o pochodnych. Na przykład: pochodna równa jest funkcji; po wykładzie z rachunku różniczkowego umiesz to rozwiązać.  No więc rzecz w tym, że prawie wszystko, co fizyka mówi o świecie, mówi w języku równań różniczkowych. Gdyby tego nie było, fizycy musieliby to wymyślić.

Prawdę mówiąc, fizycy to wymyślili.