To słuszne, że takie równanie jak na przykład y=½x+3 nazywa się liniowe, bo w tajnym systemie kodowania nazywanym „układ współrzędnych” (ujawnianym w szkołach na lekcjach matematyki) zapisuje on linię prostą i niektórzy ludzie patrząc na te liczby ½ oraz 3 widzą nawet jak ta linia prosta leży na płaszczyźnie (to jak inni ludzie, co widząc parę nut na papierze słyszą melodię). I wszyscy uczą się, że równie dobrze można przepisać owo równanie tak: (-1)x+2y=6.

Więc można zrozumieć, że biorąc takie twory za modele, nazwano liniowym każde równanie, w którym z jednej strony (powiedzmy: z lewej) jest suma „zmiennych” (dżokerów) przemnożonych przez jakieś liczby, a z drugiej strony – liczba. I łatwo jest też zgodzić się, że „układ równań liniowych” to parę takich równań rozważanych jednocześnie (koniunkcja, pamiętasz?) i że dwie różne ale równoległe linie na płaszczyźnie nie mają punktu, który na obu nich jednocześnie leży, więc dla ich równań nie będzie takiej pary liczb, które wstawione za x oraz y dadzą prawdziwe równości. A więc układ dwóch równań liniowych z dwoma zmiennymi może być sprzeczny, bez rozwiązań.

Przypuszczam, że zgodzisz się też, że to jest najmniejszy możliwy tego typu przykład, bo jedno równanie z dwoma zmiennymi to przecież linia prosta, więc każdy jej punkt ma dwie współrzędne, które są rozwiązaniami, a jedno równanie z jedną zmienną to jest coś typu 5x=15 i już w drugiej klasie uczy się człowiek to rozwiązywać („dzielenie obu stron przez 5”), więc to zawsze ma rozwiązanie.

Kiedyś i ja się z tym godziłem, ale ostatnio mi coś odbiło i nie zgadzam się więcej. Chodzi mi o to, że poprawianie błędów studenckich zmusiło mnie do uświadomienia sobie, że choćbym nie wiem jak tego nie chciał, równania takie jak 0=0 albo 0=4 też muszę przyjąć jako uczciwe i praworządne równania liniowe, i w dodatku wszyscy to zawsze w algebrze liniowej robią, ale głośno o tym nie mówi się.

Popatrz: współczynniki układu równań liniowych, ustawione w ordynku, tworzą tabelkę, nazywaną macierzą. Jak mam układ równań, mam macierz. I na odwrót, jeśli mam jakikolwiek zestaw liczb ustawionych w macierzy, to mam układ równań liniowych.

I nawet wielką szkolną sztuką jest takie prześladowanie macierzy, żeby po jej przetworzeniu było w niej jak najwięcej zer, a jeśli w jakimś wierszu są same zera, to jest zupełnie świetnie. Tylko, że – ojej – jak to znowu zapisać w (nowych) zmiennych to mamy coś w stylu 0=a. Tableau.

Jest tu jeszcze jedna maleńka złośliwość losu. Równanie 0=4 jest uczciwym (choć sprzecznym, najmniejszym tego typu na świecie) równaniem liniowym z jedną zmienną i jego zapis macierzowy to (0)(x)=(4). Czytamy: macierz (0) działając na kolumnie z jedną współrzędną (x) daje wyraz wolny (4). I można nawet zręcznie użyć slangu zawodowego (czyli wymądrzyć się), żeby powiedzieć: „ten system jest sprzeczny”. Otóż macierz (0) ma rząd 0, macierz rozszerzona (0|4) ma rząd 1, ponieważ rzędy nie są równe, system jest sprzeczny.

Ale – oyez, oyez, oyez – 4=0 nie jest równaniem liniowym. Do zera można bez kłopotu dopisać sobie x i nic się nie stało, a do 4 nie można. A gdyby dopisało się, to by było równanie liniowe 4x=0 wcale niesprzeczne, bo mające rozwiązanie x=0.

Naprawa sytuacji jest prosta, trzeba przestać ukrywać przed dziećmi prawdę i mówić im: bardzo nam przykro, ale takie dziwadło jak 0=0 albo 0=17 też musimy przyjąć jako poprawne równanie liniowe (z tylu zmiennymi ile chcemy ich tam mieć), bo jak tego nie zrobimy, to sobie zabałaganimy zapis macierzowy.

Czy jestem pierwszym na planecie Ziemi matematykiem, który sobie z tego zdał sprawę?

Przypuszczalnie nie. Często grzebiący w swoim pólku fachowiec ma parę uwag w tzw. szufladach i czasami wyciąga je na ogląd publiczny, a czasami nie chce mu się i zostawia to na jakąś lepszą okazję – tak jest ze mną, tak z pewnością jest z mnóstwem innych.

Świetnym przykładem tego jest historia wyśmienicie prostego dowodu niewymierności liczby √2; wymyślił go Stanley Tennenbaum koło roku 1950, dowód stał się słynny dopiero po roku 1990 gdy John Conway napisał o nim. Zgoda, Tennenbaum nie trzymał swej obserwacji w szufladzie, pokazywał swój dowód setkom (czasami bardzo sławnych) uczonych, ale wieść nie cyrkulowała wśród autorów podręczników czy wykładowców.

Ponadto, na świecie uzbiera się kilkanaście tysięcy wykładających algebrę liniową matematyków, to dużo dobrych głów. I są tysiące książek z algebry liniowej, może któreś z nich proponują wprowadzenie tu porządku.

Ale jakaś mała szansa, uzasadniająca moje pytanie, chyba jest, bo choć wszystkich podręczników we wszystkich językach nie znam, to jednak sporo ponad setkę ich w paru językach już oglądałem i ten kłopot nie zaniepokoił ich autorów. Więc jeśli znasz jakąś książkę mówiącą o potrzebie lekkiego przedefiniowania pojęcia „równania liniowego” w sposób, który na pierwszy rzut oka nie wygląda naturalny, podrzuć mi tu wiadomość o tym. I używaj tego o czym piszę, sprawiając nieco zamieszania w notatkach swojego wykładowcy.

Ale jeśli jesteś uczniem w szkole i on ci każe za karę przyjść do szkoły z rodzicami, nie zwalaj winy na mnie. Obchodzenie się ze szkolnym nauczycielem matematyki wymaga sporo taktu i cierpliwości.