Wrócę do pytania z geometrii, przedstawionego tu niedawno. Chodzi o drugie pytanie:

Pokaż, że dwa odcinki, ciemnoniebieski

i jasnoniebieski

mierzą tyle samo.

Wracam do tematu z przyjemnością, bo przedstawione rozwiązanie rachunkowe, choć poprawne, nie ujawniało przyczyny tej równości. I ucieszył mnie mejl od Wieśka Kruszewskiego, w którym przedstawił on ładny pomysł innego rozwiązania. Przedstawiam je tu z drobnymi modyfikacjami; pozwalają one na pokazanie, że dwa odcinki mają tę samą długość bez potrzeby znalezienia jej. A więc prawdziwa i czysta geometria.

Ze środka niebieskiego odcinka prowadzę symetralną i na niej wybieram punkt równoodległy od odcinka i od środka pierwszego okręgu. Zakreślam (na czerwono) okrąg styczny do odcinka.

Odcinek łączący środek pierwszego okręgu i  wspólny punkt obu okręgów stanowi  podstawę rownoramiennego trójkąta z trzecim wierzchołkiem w środku nowego okręgu. Miara podstawy tego trójkąta to promień pierwszego okręgu. Dorzucam tu kopię tego trójkąta, obróconą (w owym wierzchołku) o półpełny kąt.

Przystające (i obrócone o półpełny kąt) jasnozielone trójkąty uwidoczniają, że kolejne trzy odległości od niebieskiego odcinka dają te same różnice. Ich średnia arytmetyczna to odległość środkowego seledynowego punktu od niebieskiego odcinka. Podwojenie tej długości daje sumę promieni dwóch wyjściowych okręgów, dlatego trzecia odległość jest promieniem drugiego okręgu, czyli seledynowy punkt po prawej jest środkiem drugiego okręgu. A więc nowy, trzeci okrąg ma środek na odcinku łączącym dwa pierwsze środki.

Teraz trójkąt z wierzchołkiem w środku trzeciego okręgu zastąpię trójkątem prostokątnym, opartym na średnicy tego okręgu. Ta średnica jest przekątną równoległoboku zbudowanego z dwóch promieni pierwszego okręgu i dwóch kopii niebieskiego odcinka. To wyjaśnia, że nowy trójkąt ma jeden ze swoich boków dokładnie o długości niebieskiego odcinka.

Trójkąt z żółtym obrzeżem  i beżowy z jasnoniebieskim obrzeżem są oparte na średnicach tego samego okręgu (więc są prostokątne) i mają pary wzajemnie prostopadłych boków. Są więc przystające. Nowy trójkąt ma wierzchołek na ciemnoniebieskim odcinku w punkcie styczności z trzecim okręgiem. Ma bok prostopadły do linii środków trzech okręgów. Jest on oddalony od pierwszego okręgu (jak widać ze szkicu jego jasnozielonej kopii) o promień tego okręgu. I ten bok jest drugim odcinkiem z zadania.

Wiem, że dużo słów. Ale bez symboli na kąty, okręgi, trójkąty, odcinki i punkty. Poor man's proof. I dlatego podoba mi się.