Jak widzę rozwiązania zaproponowanych przedwczoraj zadań? Może tak – co tylko da się, rysuję. Żadne z rozwiązań nie wykorzystuje sznura Brata Galvão. Przypominam o co szło:

1. Ile mierzy niebieski odcinek

Z twierdzenia Pitagorasa: (2√a)²+(a-1)²=(a+1)²

2. Czy tutaj

mamy tę samą długość?

Konstrukcja pierwiastka znana jest co najmniej od czasu Geometrii Kartezjusza:

3. To zabawa ze stareńką trójką pitagorejską 3,4,5 przemnożoną przez 5. Zerknijmy na te dwa trójkąty równoboczne, zrobione z tego samego prostokąta:

Czemu pomysł oparty na porównywaniu z trójkątem równobocznym nie wypalił? Bo tu nie ma trójkąta wpisanego w okrąg, a są trójkąty składające się w prostokąty mające przekątną o ustalonej długości. I jest całkiem ciekawym pytanie jak prosto dowieść bez narzędzia pochodnej, że największe pole ma kwadrat, ale wpis by się zrobił za długi i ten wcale niebanalny temat zostanie na inną okazję. Jak i próba prostego pokazania, że w istocie to jest dobra intuicja z trójkątem równobocznym: najbardziej podobny do okręgu, więc ma największe pole.

0. Wyznaję, że przez  zarażenie schorzeniem zawodowym, pierwsze wysunięcie macki prowadzi mnie do dowodu nie wprost: niech będą dwa środki okręgu, zaraz dojdę do jakiejś sprzeczności. Ale wyobrażam sobie Vladimira Arnolda tarzającego się ze śmiechu, że matematycy są jak woły w zaprzęgu i że do myślenia o matematyce trzeba dzieci – i szukam czegoś prostszego.

Biorę środek i okręgu i jakiś inny punkt płaszczyzny. Mam dwa punkty, dają mi one prostą. Ta prosta przecina okrąg w dwóch miejscach, z takimi samymi odległościami od punktu nazwanego środkiem. Ten drugi punkt nie ma równych odległości od owych dwóch punktów, bo jest tylko jeden środek odcinka łączącego je. Kropka. Nawet nie zastanawiałem się, czy drugi, fałszywy kandydat na środek, leży wewnątrz okręgu czy też nie.

Udało mi się uniknąć nazywania punktów imionami własnymi, używania dowodu nie wprost i w ogóle nieboskich komplikacji. Nawiasem, do tej chwili jestem pod wrażeniem uwagi Magdaleny Środy: Etyka Skargi wciąga w filozofowanie, którego konstytutywną przestrzenią jest myślenie. A potem mówią, że to matematycy nie mają litości dla czytelnika.