Natknąłem się na to niewinnie wyglądające pytanie (postawiono je tam przedwczoraj):

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna posiadająca 64 różne dzielniki?

Popsuję zabawę i pokażę rozwiązanie.

Pierwsza część, łatwa, to znaleźć postać wszystkich liczb mających tyle dzielników, i po to warto przypomnieć sobie – albo wymyślić – wzorek liczący ile jakakolwiek liczba naturalna większa od 1 ma dzielników. A potem przejrzeć możliwe przypadki (rozkład 64 na iloczyny) i zastanowić się, który z nich opisuje najmniejszą liczbę.

Żeby nie wylewać kawy na ławę (możesz to zrobić sam/sama, a ja będę patrzał), ustawię w sugestywnych tabelkach dwa przykłady. Uwierz (ale najlepiej sprawdź), że 2000 rozkłada się na potęgi liczb pierwszych jako iloczyn 2⁴×5³, a 40500 jako 2²×3⁴×5³.

Żeby znaleźć dzielniki liczby 2000 muszę brać jakąś liczbę z pierwszego i jakąś liczbę z drugiego słupka i mnożyć je:

a dla dzielników liczby 40500 muszę wybrać trzy liczby, po jednej z każdego ze słupków:

Od razu widać czemu twierdzenie o (jedynym możliwym, jeśli pominąć uporządkowanie) rozkładzie liczb naturalnych na iloczyny potęg liczb pierwszych nazywają podstawowym twierdzeniem arytmetyki: dzięki niemu problem odszukiwania dzielników liczby staje się zjazdem z górki na matematycznych sankach: jeśli liczba pierwsza p pojawia się w rozkładzie m razy („z wykładnikiem m”), przyczynia ona m+1 czynników – bo liczba 1 czyli p⁰ też jest dzielnikiem. I trzeba przemnożyć wszystkie możliwości otrzymane dla każdej z liczb pierwszych. Czemu przemnożyć? Ano, każdy zestaw dzielników potęg liczb pierwszych daje jakiś nowy dzielnik całej liczby. Czyli musimy przebiegać słupki „nitkami”, nanizując na nie coś z każdego słupka.

A więc gdyby słupek był tylko jeden – oczywiście wybralibyśmy najmniejszą liczbę pierwszą, czyli 2 – musielibyśmy wziąć m+1=64, czyli m=63. To jest okropnie duża liczba. Więc musimy pomyśleć jak używając paru słupków (dla kolejnych, czyli najmniejszych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7...) zrobić rozkład liczby 64 na iloczyn rozsądnie niedużych wykładników powiększanych o 1. Oczywiście, mniejsze liczby pierwsze zostałyby obciążone większymi wykładnikami, więc myślmy jak rozkładać 64 z kolejnymi czynnikami mniejszymi od poprzednich:

Jak widać, jest 11 takich rozkładów i odpowiadające im liczby  (leniwie nie zapisujemy potęgi 1) mają czynniki

Przed wymnożeniem czynników każdej z nich trzeba zastanowić się czy jest sens to robić; przypadki (1)–(5) mają co najmniej 14 czynników, uczestniczą w konkursie, bo jest demokracja, ale oczywiście szans na wygraną nie mają. Przeliczmy więc pozostałe przypadki:

Gratulacje dla zwycięskiej liczby 7560 z rozkładem 2³×3³×5×7.