Słowa w ordynku. Słowa w ataku i w obronie. Pomieszane. Refrakcja słów w stali i w wodzie. Odbicia słowne i zwidy. Ład i gładkość. Spazmy i erupcje. Kojący wpływ soku z passion fruit. Od rzeczy i do rzeczy. Krótko mówiąc. Ostatnie słowo. Na początku był skowyt.
Blog > Komentarze do wpisu
Ułamki czy zapis z przecinkiem?

Czy przystaje poważnemu człowiekowi mówić poważnym ludziom o tak banalnych sprawach? Nie? Rozumiem, ale co twoim zdaniem należy powiedzieć bardzo wielu osobom, które powinny wynieść ze szkoły doskonałe rozumienie tych oczywistości, ale z tej czy innej przyczyny nigdy do nich to nie dotarło? Więc pozwól, że wybiorę wyjście, które nikomu nie zaszkodzi, a komuś może pomóc.

Z liczbami całkowitymi nie ma kłopotu. Ale czemu uczą w szkole dwa razy, na dwa sposoby, posługiwania się innymi liczbami? Chodzi o tak zwane „ułamki”, na przykład 19/11 jest tą samą liczbą co 1,727272... Kalkulator natychmiast zamieni pierwszą postać na drugą, więc po co uczyć się dodawania i mnożenia ułamków?

Wcale nie jestem pewien czy ponad połowa uczniów kończących szkołę zastanowiła się kiedyś nad tym. To nie jest rozwiązywanie równania, więc nie ma na to ćwiczeń...

Oczywiście dodawanie czy mnożnie liczb w zapisie dziesiętnym, tak jak je podaje kalkulator, przekracza zapas cierpliwości jego użytkowników. Coś tam świta w pamięci, że na ogół nie jest to dokładnie ta sama liczba co ułamek, że ten trzykropek mówi o jakimś zaokrągleniu, ale jakie zaokrąglenia można bezkarnie używać? Chodzi o to, że jak niedbale zaokrąglić, to końcowy wynik może okazać się rażąco błędny, ale jeśli wziąć wiele „miejsc po przecinku”, bez kalkulatora nie rozbierzesz. A nie przypominam sobie, by któryś szkolny podręcznik pokazywał jak znany aż do uśnięcia wzór na mnożenie (x+a)×(y+b) (a oraz b to błędy zaokrąglenia) pomagał w oszacowaniu otrzymanego błędu. Jeszcze gorzej sprawa wygląda przy dzieleniu, podzielenie ułamka przez drugi to pomnożenie go przez odwrotność drugiego (postawienie drugiego „na głowie”), natomiast przy dzieleniu liczb zaokrąglonych błędy są chroniczne, epidemiczne i makabryczne. A więc, bez wątpienia, przy mnożeniu i dzieleniu używanie postaci ułamkowej jest zdrowsze i bezpieczniejsze.

Z drugiej strony, zwykłe porównanie dwóch liczb, odpowiedź na pytanie „czy x jest mniejszy od y?” jest śmiesznie proste w zapisie dziesiętnym (porównywanie cyfr na „tych samych” pozycjach przy pierwszym rzucie oka rozstrzyga kwestię), ale wcale nie jest widoczne czy 144/233 jest większe od 233/377.

Użyty tu przykład wcale nie jest przypadkowy, wykorzystałem (tak jak autorzy wielu łamigłówek ze znikającym polem w kwadracie 8 na 8 i w podobnych geometrycznych rysunkach z przeliczaniem pól w dziwnych trójkątach) własność liczb Fibonacciego. To te liczby, które zaczynają się od dwóch jedynek, a potem następną liczbę dostaje się dodając dwie poprzednie. Więc wyrasta ciąg z takim początkiem:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Te moje liczby 144, 233, 377 pojawiają się wkrótce potem. Chodzi o to, że gdy bierzemy z tego ciągu trzy kolejne liczby, powiedzmy x,y,z, obliczenie y²-xz daje naprzemiennie albo +1 albo -1. Powiedzmy, że mam y²-xz=1, to znaczy, że y/z-x/y=1/zy, czyli ta różnica dwóch ułamków jest tak wystarczająco mała, by mieć kłopoty z ujrzeniem bez rachunków czy jest blisko zera ale mniejsza czy większa od niego.

Tak więc oba zapisy mają swoje użytki i nieużytki i dlatego uczymy się używania obu ich. A jeśli ich w praktyce nie używamy, to jest zupełnie inna bajka, ale używać możemy.

Ważne, żebyśmy nie dali się zamerykanizować i wpaść w dyktaturę zapisu dziesiętnego. A używanie kalkulatorów do tego niestety prowadzi. Ale bynajmniej nie zachęcam do wyrzucenia kalkulatora, a do nabycia francuskiego. (Albo jakiejkolwiek innej produkcji, jeśli ma te ułamki. O, wcale nie jestem zwariowanym frankofilem).

Mam nadzieję, że nie masz wątpliwości co do jakości nauki i technologii francuskiej. Na wszelki wypadek przypominam: samoloty, rakiety, bomba atomowa, TGV... No więc podkreślanie, że wszystko mają z siebie, a nie od Amerykanów, jest dla nich sprawą honoru. Czasami może nas to trochę bawić, że wszyscy nazywają komputer komputerem, a oni zupełnie inaczej. Ale na ogół dobrze robią, że nie poddają się modom – i na przykład (jakże prosta sprawa) ich kalkulatory, używane w szkołach i sprzedawane wszędzie, umieją mnożyć i liczyć tak w zapisie dziesiętnym jak i w ułamkowym. Bardzo zachęcam do nabycia takiej właśnie zabawki. Może kosztuje trochę drożej niż chińska, ale ma o wiele więcej sensu. I możliwości.

PS. Pomyślałem, że może na chybcika zbyłem sprawę tego kwadratu 8 na 8. Chodzi o to, że różnica między 8×8 a 5×13 to zaledwie 1, więc jak sprytnie pociąć prostokąt 5 na 13 to można oszukać widza, że prostokąt upycha się w kwadrat. A te trzy liczby: 5,8,13 są właśnie sąsiadami w ciągu Fibonacciego.

wtorek, 20 lipca 2010, andsol-br
TrackBack
TrackBack URL wpisu:
Komentarze
2010/07/20 06:51:35
Do dziś korzystam z kalkulatora Casio (kupowany w Niemczech w 1988 roku), który ułamki zwykłe i działania na nich ma. Wydaje mi się także, że nasze polskie kalkulatory serii Bolek (były takie na pocztku lat dziewięćdziesiątych) też miały te możliwości.
A przydatność wiedzy, o której piszesz jest istotna w praktyce. Moje ososbiste dziecko przekonało się o tym na laboratoriach z fizyki (II rok studiów, Elektronika i Telekomunikacja), gdy prowadzący masowo w całej grupie odrzucał sprawozdania z ćwiczeń. Pojęcie ilości cyfr znaczących okazało się kluczowe.
A swoja drogą - w technikum miałam fizyka, który naszą wiedzę sprawdzał przy rozwiązywaniu zadań. Nie uznawał żadnych wyników pośrednich - wszystkie działania aż do końca prowadziło się na liczbach ogólnych, dodatkowo na jednostkach. Wynik matematyczny w postaci konkretnej liczby był najmniej istotny. Do dziś jestem mu wdzięczna, za to, czego mnie nauczył :)

PS. Pisząc o liczbach "całkowych" miałeś na myśli całkowite, czy używasz pojęcia z niedostępnej dla mnie części matematyki?
-
2010/07/20 10:04:13
Andsolu, piszesz:

"Ważne, żebyśmy nie dali się zamerykanizować i wpaść w dyktaturę zapisu dziesiętnego. A używanie kalkulatorów do tego niestety prowadzi. Ale bynajmniej nie zachęcam do wyrzucenia kalkulatora, a do nabycia francuskiego. "

Nie bardzo rozumiem tego "zamerykanizować". Czy masz na myśli kontynenty (i oceniasz na podstawie Brazylii), czy też chodzi Ci o USA i wychodzą znowu Twoje anty-ametykańskie emocje.

Zapis w jakimś sensie dziesiątkowy (w wersji 60-kowej) wprowadzili z dużym pożytkiem nie Amerykanie, a Babilończycy (a może nawet Sumerowie). Egipcjanie lubili wtedy raczej ułamki (vide `Egyptian fractions'). Więc może raczej "nie dajmy sie zbabilonizować"? "Uakkadyjczyć"?

Tak jak Marzatela, od lat używam Casio kupione za 9 dolarów: www.amazon.com/Casio-Scientific-Solar-Calculator-FX-260/dp/B000Q5XTBQ (o, zdrożalo o 99 centów!), które liczy na oba sposoby. I w ogóle, wydając tu w sklepie spożywczym na tani kakulator więcej niż powiedzmy siedem dolarów narażasz się na te ułamki.

Jeśli chcesz taki, bo w Brazylii ich nie ma, i nie zależy Ci na francuskim pedigree, to daj znać a podeślę.

W USA pierwszy kalkulator z ułamkami pojawił się w 1975 roku. Nazywał się Bowmar "brain" portable calculator; tu jest ówczesna rekama:
news.google.com/newspapers?id=gkUtAAAAIBAJ&sjid=lp8FAAAAIBAJ&pg=5179,358657&dq=calculator+fractions+history&hl=en

Dodając do "amerykanizacji" -- Texas Instruments produkuje specjaną serię kalulatorów z zablokowanymi umiejętnościami ułamkowymi. Właśnie na użytek szkół. Dlaczego? Bo chodzi o to by dzieci uczyły się własności ułamków i nie oszukiwały na egzaminach i sprawdzianach.

No a jak to jest w Brazylii?....
-
Gość: Throgh, kyi66.internetdsl.tpnet.pl
2010/07/20 14:21:49
no i cały pogrzeb na nic...
-
2010/07/20 15:32:11
@je-ko: jak jest w Brazylii? Zimno. Ale to normalne w tej porze roku.

Ciekawe o tych Babilończykach z systemem dziesiątkowym, który był sześćdziesiątkowym. To mi daje sumpt do fajnego dowodu, że 2=1.

O, Amerykanie też robią kalkulatory z ułamkami? Świetnie. Ludzi, kupujcie francuskie z ułamkami. Albo podobne amerykańskie.

To o TI jest ciekawe i nie wiedziałem o tym (choć sensowność sprzedawania czegoś z pewnymi możliwościami blokowanymi wydaje mi się dość oryginalny) ale nie chodzi o świetny pomysł tu i tak (wiem, że Stany to duży kraj i tam jest wiele różnych fajnych rzeczy) ale o to co jest standardem. We Francji decyzja o używaniu w szkołach kalkulatorów z obu typami notacji została podjęta dawno, na poziomie ministerialnym, jest realizowana i poparcie dla niej jest w szkolnych podręcznikach. Wiem, że Ty tak uczysz studentów, wiesz, że ja też - ale czy z ręką na sercu potwierdzisz, że większość nauczycieli akademickich tam u Ciebie to czyni? A nauczycieli w high schools?

Co do anty-amerykańskich emocji - a co w tym złego? Niektórzy mają emocje anty-religijne, inni anty-atlantydzkie... Póki nie odrzucam Cię tylko za to, że jesteś Amerykaninem, to chyba nie ma problemu.

@marzatela: za chwilę poprawię liczby całkowe na bardziej ortodoksyjne całkowite. Czego to się nie pisze jeśli się pisze nocami i nie ma korektora ortograficznego. Chociaż on by zaakceptował całkowite.

Cieszę się, że czasami da się o Bolku napisać coś dobrego.
-
2010/07/20 17:50:29
Autor zapewne nie wie, ze oprocz liczb ktore daja sie wyrazic w postaci ilorazu dwoch liczb naturalnych istnieje nieskonczenie wiele liczb rzeczywisctych ktore sie w postaci ulamka wyrazic nie dadza. To sa liczby niewymierne. Co wiecej, mimo iz zarowno liczb naturalncyh jak i wymiernych jak i niewymiernych jest neiskoczenie wiele, to nie sa to te same nieskonczonosci: liczb niewymiernych jest zdecydowanie wiecej niz naturalnych czy wymiernych, albowiem liczby niewymierne nie dadza sie "ponumerowac".

Tak wiec ulamki nie sa Uniwesalnym Rozwiazaniem Na Wszystko
-
2010/07/20 18:37:54
Autor, zacna mamula66, zapewne wie. I ten wpis nie jest oddany Uniwersalnym Rozwiązaniom na Wszystko a przydatnościom dwóch typów zapisów liczb wymiernych. I gdyby autor mówił o liczbach wymiernych, to zasugerowałby tym swą wiedzę o istnieniu liczb niewymiernych, ale straciłby tych czytelników, którzy używają kalkulatorów i ułamków ale niezbyt jasno pamiętają definicje liczb wymiernych.

Wszystko ma swoją cenę, mówienie na bardzo elementarnym poziomie ma swoje wymogi. Dobrych blogów, które mówią o liczbach kardynalnych itp. nie brak w naszej blogosferze, ja jestem w inną stronę skierowany. Nie z nieznajomości materiału pierwszego roku studiów matematycznych, a z wyboru.
-
2010/07/20 19:02:37
W dalszym ciagu nie jestem przekonana jaki jest "message" tekstu o ulamkach. Czy chodzi o wyzszosc czy tez lepszosc, czy tez zgrabniejsosc polsugiwania sie ulamkami niz "zapisem z kropka"? Czy chodzi o to ze lepiej zeby w sklepie bylo podawane ze ogorek kosztuje 127/81 zlotego? A cleb 131/33?

Jak dotad zauwazylem tylko dwie dziedziny dialalnosci spolecznej gdzie ulamki przykjely sie jako lepsze rzwiazanie: hudraulika hdzie zrednice rur mierzy sie w czesciach cala (nawet w Polsce) i w stolarstwie gdzie tak samo mierzy sie grubosc desek. Wszedzie indziej Obywatel spotyka sie tylko z notacja z kropka i jest do niej przyzwyczajony. Co wiecej, jest to notacja wygodniejsza, bo od razu widac czy 1.25 zlotego jest wieksze od 1.23 zlotego czy nie. Co wiec Autor sugeruje?

-
2010/07/20 19:07:18
JE-KO: "Dodając do "amerykanizacji" -- Texas Instruments produkuje specjaną serię kalulatorów z zablokowanymi umiejętnościami ułamkowymi. Właśnie na użytek szkół."

Mozna prosic o sczegoly? Znaczy JAKI kalkulator TI? Symbol bym poprosil
-
2010/07/20 20:53:00
@mamula66: używasz dwojakich form koniugacji, więc pozwól, że założę (bardziej sugerując się nickiem), że jesteś kobietą, a w ostatnim komentarzu coś Ci zjadło literkę. Nie, żeby miało to wielkie znaczenie, argumenty to nie Słownik chazarski, nie mają dwóch wersji, ale lubię żyć w zgodzie z gramatyką.

Jakie przesłanie? (Zabawne, że gdy są dwie postacie, od razu myślisz, że któraś musiałaby być "wyższa czy lepsza"). Jak wiele z moich matematycznych wpisów z matematyki elementarnej, temat ma pochodzenie w czyjejś konkretnej wątpliwości i przesłanie jest to, które zapisałem: posługiwanie się ilorazami liczb całkowitych jest przydatne w operacjach arytmetycznych, zapis dziesiętny (czy ogólniej: pozycyjny) gdy pojawia się relacja porządku. Ironizowanie z przykładami z chlebem i ogórkiem jest trochę w stylu powieści Masłowskiej: autorka chyba je sobie ceni.

Ty nie widzisz sensu używania liczb wymiernych, ja widzę sens nawet przybliżania niewymiernych wymiernymi, uniezależniając się od kalkulatora. Zerknij np. na zaskakująco dokładną (jednostronicową) tabelę funkcji trygonometrycznych - nawiasem, je-ko ma na jego witrynie jeszcze mniejszą, ale nie pamiętam dokładnego adresu. A gdybyś wdała się ułamki ciągłe, poznałabyś piękny i tajemniczy świat głębokich i trudnych czasami wyników o przybliżeniach wymiernych liczb rzeczywistych. Ale to napewno nie jest temat do rozmowy na ten blog.
-
2010/07/20 21:53:56
jak idzie o moj gender, proponuje zalozyc ze jestem "ono" :)

Maslowskiej nie trawie, wiec nei wiem ja prayjelaby more ceny clega i ogorkow.

Zas jak idzie o meritum, czyli wieksza latwosc polsugiwania sie ulamkami i uniezalezniania sie od kalkulatora.

Zalozmy ze chcemy sprawdzic ile jest sinus kwadrat 40 stopni plus cosinus kwadrat 40 stopni. Wystarczy wklepac odpowiednia formule na klawiaturze kalkulatora.

Zas bez... Po pierwsze, trzeba miec owa tabelke wymiernych aprokstmacji, Po drugie, odczytac 637/991 i 370/484. Po tzrecie, podniesc obie liczby do kwadratu. Bez kalkulatora? No mozna, ale za jakie grzechy tak sie meczyc? Potem oba ulamki zaopatrzyc we wspolny mianownik i dodac. Bez kallkulatora? Mamy juz liczby 6 cyfrowe. No a potem podzielic jedna liczbe 6 cyrfowa przez druga, i juz. Na papierku?

A jak bedziemy chcieli to samo dla funkcjo sinh i cosh? Gdzie jest taka tabelka dla funkcji hiperbolicznych?

Prosze przekonac ucznia czy kogokolwiek ze na papierku prosciej

Owszem, byly czasy bez kalkulatora. Poslugiwano sie wtedy tablicami logarytmicznymi. Byly logarytmy funkcji trygonometrycznych. Takie rzeczy jak powyzej robilo sie latwo.

Nie neguje wartosci obliczen na przyblizeniach wymiernych. Wrecz przeciwnie, przydaja sie przy obliczeniach komputerowych z kontrolowana dokladnoscia. Ale dla "szarego czlowieka"?... Kiedys nauczycielka w szkole pytala mnie ze lzami w oczach: "Oni nie rozumieja ulamkow... No powiedz, czy widzialez ze kiedys, gdzies normalnemu czlowiekowi byly potrzebne ulamki?"... Nie wiedzialem co odpowiedziec...

-
2010/07/20 21:54:33
Gwoli ciekawostki: również Słowacy (ale Czesi już nie!) mają na komputer własne określenie: počítač.

Wiąże się z tym pewna anegdota; kiedyś razem z przyjacielem pojechaliśmy na zlot komputerowy na Słowacji. Dotarliśmy na miejsce jeszcze przed organizatorami, więc skromnie siedliśmy w recepcji/holu, żeby poczekać. Pani recepcjonistka kilka razy się nas pyta, "czy mamy poczytacz". Patrzymy na siebie i odpowiadamy zdziwieni, że tak, wzięliśmy sobie jakieś książki na podróż. Kiedy nas później kolega Słowak wyprowadził z błędu, to była radocha nie z tej ziemi.
-
2010/07/20 21:57:59
Gosc: "również Słowacy (ale Czesi już nie!) mają na komputer własne określenie: počítač."

Pamietam czasy gdy w Polsce usilowano wprowadzic nasze wlasne okreslenie: "licznica". Wynik dzialan jakiegos tam Komitetu Jezykoznawczego PAN. Niestety, nie przyjelo sie :)
-
2010/07/20 22:10:48
To skoro na słowotwórstwo zeszło - wspomniany przeze mnie fizyk kalkulator zawsze nazywał arytmometrem.
-
2010/07/20 22:22:21
"kalkulator zawsze nazywał arytmometrem."

Arytmometr to byla maszyna mechaniczna na korbe, a pozniej zamiast korby byl motor elektryczny. Te maszyne na korbe nazywano powszechnie "kreciolkiem"
-
2010/07/20 22:51:17
@mamula66: trochę zatkało mnie Twoje Zalozmy ze chcemy sprawdzic ile jest sinus kwadrat 40 stopni plus cosinus kwadrat 40 stopni.. Gdyby ktoś spytał mnie ile jest sin²40°+cos²40°, odpowiedziałbym pytaniem czy nigdy nie słyszał o twierdzeniu Pitagorasa. I zastanowiłoby mnie czemu nie dostrzegasz prostoty liczby 9/14, wyśmienitego przybliżenia (koło procenta z procenta błędu) dla sin40°.

Co do reszty, zostawiłoś na boku chleb i ogórki, ale nie nastawienie i chociaż słyszałoś w życiu o pomysłach Cantora z nieprzeliczalnością, rozważasz matematykę tylko z punktu widzenia stolarza, który potrzebuje liczb do przemnożenia, boków, żeby dostać pole. A swoją argumentacją starasz się wciskać mnie ku pozycji, która mnie nie interesuje (Owszem, byly czasy bez kalkulatora.), że niby chcę świata bez kalkulatora. Być niezależnym od kalkulatora to nie to samo co nie używać kalkulatora. W istocie całkiem sporo czasu zajmuje mi coś, co da się nazwać matematyką eksperymentalną, czyli formułowanie i testowanie hipotez (używam głównie programu pari-gp i do wizualizacji gnuplot.

Co do funkcji hiperbolicznych, niezależnie od stanu baterii kalkulatora dość szybko poradzę sobie rozwijając je w szereg Taylora.

Wspomniana przez Ciebie nauczycielka miała zapewne wiele dróg przed sobą, nie wiem czemu wybrała nauczanie matematyki, do czego zdecydowanie nie nadaje się. I będzie wmawiała swoim biednym uczniom, że matematyka to w zasadzie arytmetyka liczb rzeczywistych.
-
2010/07/20 23:21:21
Dorzucę jeszcze jedną dziedzinę, gdzie w USA ułamki sa używane standardowo - majsterkowanie czy też rękodzielnictwo. Tzn., narzędzia i materiały do pracy z drewnem, metalem, plastikiem wycechowane są - gdy mała rozdzielczość - w ułamkach cala, gdy większa - stopy.

Tak więc narzędzia z kompletu kluczy czy wierteł będą wycechowane - 1/2 , 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, 1/16,..., 1/32,.., 1/64.... Gdy nabywam rurę PCV w sklepie - będzie np. miała napisaną średnicę 2 1/2 lub 1 3/4 zamiast 2.5 lub 1.75, etc. (USA - kraj kropkowy, nie przecinkowy).

Oczywiście, jeszcze pełniejszy zestaw będzie zawierać klucze, zwłaszcza klucze, metryczne, bo na rynku pałęta się się mnóstwo metryctwa. Spróbuj odkrecić zapiekłą śrubę 10 mm imperialnymi kluczami - 13/32 ślizga się rżnąc główkę śruby, a 25/64 nie wchodzi.

Także, zauważyłem wśród niektórych słabo edukowanych fachowców jakby wbudowaną, niewerbalną, niesformalizowaną zdolność - prawdopodobnie wytrenowaną, posługiwania się ułamkami bez zdawania sprawy,że sa to ułamki. I, odpowiednio tak mówi - w tłumaczeniu - "trzyósme" lub "trzyćwierci", i wie - nie licząc! - że dwie "trzyósemki" razem dadzą "trzyćwiartkę".

Podejrzewam, że coś jak rekin płynący po linii największego gradientu w stronę krwawiącej ofiary - po prostu wie, a nie liczy (tzn., jakiś tam procesor w jego móżdżku te pochodne cząstkowe nalicza).

Co do zaniedbania i niskiego poziomu w społeczeństwie... Nikt się nie dziwi, uważa wręcz za oczywsite i normalne, że jak kto prowadzi nieruchliwy tryb życia, to większy spacer czy schody - sprawiają, że bolą mięśnie i brakuje oddechu.
I ze jedynym remedium nie jest biadanie, czy szukanie jakichś tajemniczych recept na Wschodzi i Zachodzie, tylko ćwiczenie - weż, człeku, rusz swa tłustą dupę z fotela, i zacznij się ruszać. Zobaczysz - wkrótce mięsnie przestaną boleć i po trzech schodkach nie będziesz jak śnięta ryba.
-
Gość: , relay.redprairie.com
2010/07/20 23:34:13
"Gdyby ktoś spytał mnie ile jest sin²40°+cos²40°, odpowiedziałbym pytaniem czy nigdy nie słyszał o twierdzeniu Pitagorasa" Nie wiedzialem ze tzreba lopatologicznie. Powinienem powiedziec "zalozmy ze chce wykonac jakies obliczenia z funkcjami trygonometrycznymi".

Rozumiem sytuacje gdy jestem na bezludnej wyspie i mam tylko swoja glowe i piasek do pisania. Ale normalnie to mam pod reka kalkulator co najmniej jeden, i jakos nie widze sensu w propozycji zebym sobie rozwijal funkcje hiperboliczne w szeregi Taylora. Zreszta, to nie najlepszy spsob przyblizania funkcji.

W USA jest takie plemie, Amisze (Amish) ktorzy to Amisze zyja tak jak zylo sie w 16 stuleciu i nie uzywaja zadnych nowoczesnych wynalazkow. Ale czynia to z pobudek religijnych. Ja nie mam takiej motywacji.

"rozważasz matematykę tylko z punktu widzenia stolarza, który potrzebuje liczb do przemnożenia, boków, żeby dostać pole". W zasadzie tak. Zajmuje sie matematyka stosowana, a konkretnie "operations research" i rzeczywiscie, matematyki uzywa sie tam w celach utylitarnych, chociaz generuje sie rozniez prace dosyc daleko odlegle od przemnazania bokow. Tym niemniej, w celu poslugiwania sie matematyka utylitarnie, musialem skonczyc studia matematyczne. Bowiem matematyka stosowana to tez matematyka.

Zas jak idzie o nauczycielke - no gdzie zwykly, szary zjadacz chleba bedzie potrzebowal wiedzy o sprowadzaniu ulamkow do wspolnego mianownika? Jakis przyklad poprosze; przekaze nauczycielce. Oczywiscie, studenci powinni uczyc sie matamatyki dla matematyki jako takiej, i ulamki bylyby ciekawa dzialka, ale choroba, nie chca... Zas o ile wiem, to polecie "liczba rzeczywista" chyba w ogole w tutejszej szkole nie pada.
-
2010/07/20 23:37:45
" odpowiednio tak mówi - w tłumaczeniu - "trzyósme" lub "trzyćwierci", i wie - nie licząc! - że dwie "trzyósemki" razem dadzą "trzyćwiartkę". "

Sa takie kalkulatorki - "Contractor's Calculator" - ktore te "trzyosemki" i "trzycwiartki" licza
-
2010/07/20 23:39:15
"Gość: , relay.redprairie.com"

To ja, mamula66. Cos sie zle zalogowalo
-
2010/07/21 00:55:26
mamula66
"Sa takie kalkulatorki..."

Dyć notka Autora jest o tym, że są takie kalkulatorki.
-
2010/07/21 01:02:39
Tak, zrozumiałem to. A co do matematyki stosowanej (ile by książek tego terminu nie używało w tytule) kontrasygnuję opinię mego przyjaciela, że ona nie istnieje, że istnieją matematycy ją stosujący. Tak samo jak jest dla mnie mydleniem oczu matematyka finansowa (a inne zastosowania funkcji wykładniczej to będą czym, matematyką radioaktywną oraz matematyką rozmnożeniową?), bo chodzi o metodę, o sposób oglądu świata, z czego by ten świat nie był zmontowany. Podział na dziedziny jest związany z bogactwem metod, nie użytków.

Już raz prosiłem: nie wrabiaj mnie w Amisza. I przeszłoś od kwestiowania sensu tego wpisu do sensu jednej z notacji liczbowych, by zakwestionować trzon rozwoju matematyki przeciwstawiając jej praktyczne użytki. A tę sztukę tyle razy już grano na Broadway'u i na off i na off-off, że chyba nie warto tu jej odgrzewać
-
2010/07/21 01:24:45
"A co do matematyki stosowanej (ile by książek tego terminu nie używało w tytule) kontrasygnuję opinię mego przyjaciela, że ona nie istnieje, że istnieją matematycy ją stosujący."

Wypada sie zgodzic. Tym niemniej, "applied mathematics" jest powszechnie uzywanym terminem, na kazdym uniwersytecie jest "Department of Applied Mathematics, i jest organizacja SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics).

Applied Mathematics i Mathematics Jako Taka roznie sie nieco w celach i sposobach i "produktach". Najlepiej to ujal Profesur Hurgin z moskiewskiej Politechniki wiele lat temu: "Prikladniki delajut czto nada no nie wozmozno, tieorietiki dielajut czto wozmozno no nie nada". Inne powiedzonko z kregow "mathematical programming", nieco zartobliwe, to "never use algorithm that has proof of convergence".

Tym niemiej, to matematyka i tamto matematyka.
-
2010/07/21 01:28:12
"W istocie całkiem sporo czasu zajmuje mi coś, co da się nazwać matematyką eksperymentalną"

Zadam glupie pytanie, ale tak na wszelki wypadek: znasz ksiazki Borweina i Baileya o experimental mathematics?
-
2010/07/21 01:46:51
W pytaniu nie ma niczego głupiego, książka jednak kosztuje $45 plus dosyłka i człowiek musi troszkę hamować zakupowe zapędy, ale ci autorzy jednak zasługiwali na wydatek. Liczyłem na to, że trochę oczaruje studentów, ale oni są nieco zblazowani, jak książka nie tańczy i nie śpiewa to nie podnieca. Ale jak dla mnie, to warto było.

My mamy instytucjonalny dostęp do Springera, ale do wydawnictw ze Stanów lepiej jest liczyć na własną kieszeń.
-
2010/07/21 02:29:36
Ksziaki sa 3 (a nawet 3 i pol); na wszelki wypadek podaje tytuly:

Experimental Mathematics in Action, 2007
Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in 21th Century, 2004
Experimantation in Mathematics: Computational Path to Discovery, 2004

I na dodatek mala ksiazeczka (150 stron) napisana bardzo popularnie, ale scisle:

The computer as Crucible: An Introduction to Experimental Mathematics, 2009.

Idealny material do semestralnego wykladu; powinna zainteresowac studentow
-
2010/07/21 03:55:06
Kupiłem tylko drugą, ze względu na pi i ich sławny wzorek (choć przypuszczam, że we wszystkich nie omieszkają wspomnieć o nim, zresztą słusznie); kupować wszystkiego niestety nie da się, ale dobrze mieć je na liście, dziękuję za wskazówkę.
-
2010/07/21 04:17:35
"pi i ich sławny wzorek (choć przypuszczam, że we wszystkich nie omieszkają wspomnieć o nim, zresztą słusznie)" W pozostalych dwoch "duzych" ksiazkach, Pi jest potraktowana zupelnie marginalnie.

Za to w tej malej ksiazce jest rozdzial: "What is the Quadrillionth Decimal Place of Pi?" Wszystkiego moze z 10 stron, ale ze szczegolami i przystepnie
-
2010/07/21 04:38:03
Andsol:
"A co do matematyki stosowanej (ile by książek tego terminu nie używało w tytule) kontrasygnuję opinię mego przyjaciela, że ona nie istnieje, że istnieją matematycy ją stosujący. Tak samo jak jest dla mnie mydleniem oczu matematyka finansowa (a inne zastosowania funkcji wykładniczej to będą czym"

Z całym respektem - brak zgody.

Długo by wyjasniać - ale czy znasz różncię między statystykami a matematykami? Nie mówię o takich statystykach, co poza średnią i regresję nie wychodzą, a na widok całki mdleją.

Różnica w celach i motywach. Wtedy podejście i rygor jako pierwsze ida pod odstrzał. Zmienia się oko (to od "beauty lies in the eye of the beholder").

Tzw. "applied math people" - sa bliżsi statystykom niż matematykom sensu strictu.

A, dochodzi do tego tzw. "matematyka eksperymentalna" - ja nie wiem dokąd się toto potoczy, ale wali toto drzwiami i oknami. Trudno rozróżnić epatowanie od rzeczy wartej (bo jak nie ma dowodu, którego prawdziwość można zweryfikować?).

Zaś tzw. "finansowa" - jak wszędzie, sa guru i mąciciele, a są ludzie rzetelni. Jak kto z "rasowych matematykó" dowie się, że te abstrakcje, którymi zajmował się 30 lat temu, sa dziś "na topie", i sa jak najbardziej konkretami, to czuje się co najmniej dziwnie.

Za najlepszy przykłąd służy przykład Louisa Bacheliera, którego matematyko-finansowe podejście do ruchu Browna (100 lat temu) okazało się być najbardziej czystym matematycznie, zaś abstrakcyjne wyjaśnienia Einsteina okazały się być niemal "crap" (za podobne stawia się dziś lufę), a przynajmniej psu na budę.

Przy okazji, prostuję mylny pogląd, iż matematyka finansowa to zabawa funkcją wykładniczą. Na poziomie przedszkolnym - może i owszem. Ale dziś - bez SPDE's nawet się nie zabieraj. Chyba, ze chcesz sukcesu, wtedy te ostatnie, które rozumie garść ludzi na świecie, sa przeszkodą, bo decydenci jeszcze zrozumieją funkcje wykładniczą, i rzucą srebrnikami na nią, a Calculusu Malliavina - za Chiny, choć to Francuz.
-
2010/07/21 04:45:29
Rozdzial: "What is the Quadrillionth Decimal Place of Pi?" dostepny jest na google books. Nalezy wejsc na google books i wklepac tytul ksiazki computer as crucible
-
2010/07/21 05:00:22
"A, dochodzi do tego tzw. "matematyka eksperymentalna" - ja nie wiem dokąd się toto potoczy, ale wali toto drzwiami i oknami. Trudno rozróżnić epatowanie od rzeczy wartej (bo jak nie ma dowodu, którego prawdziwość można zweryfikować?). "

"matematyka eksperymentalna" to nie dowody przeprowadzane przez komputer. Takie "dowody" niczego nei dowodza.

Matematyka eksperymentalna to taka matematyka gdzie HIPOTEZY buduje sie (i ewentualnie obala) przy pomocy komputera. A dowod przeprowadza sie starymi, wyprobowanymi metodami. Proponuje zajrzec do ksiazek ktore listowalem. Sporo tam jest dyskusji o roli komputerow w matematyce i czym jest a czym nie jest owa matematyka eksperymentalna. Uzywaja tam terminu "computer aided mathematics" i to sie wydaje byc terminem wlasciwym.

Zas "applied" mathematics rozni sie of "mathematics" tym ze odnosi sie do realnosci fizycznej. Moj ulubiony przyklad takiego odniesienia do realnosci to

petrarch.petersadlon.com/submissions/Rinaldi.pdf

"Laura and Petrarch: an intriguing case of cyclical love dynamics" by Sergio Rinaldi

Zawsze uzywalem do wyjasnienie studentom co to jest "applied" :)
-
2010/07/21 05:03:46
@tichy: tak, masz rację, zalicytowałem powyżej siły karty w ręce. Od dłuższego czasu w istocie matematyka w ekonomii wyszła bardzo daleko poza funkcję wykładniczą. Mój lekceważący zwrot odnosi się w gruncie rzeczy do papki ładowanej na pierwszych kursach ekonomii i rachunkowości, gdzie dojście do tabeli Price jest szczytem wyrafinowania.

Co do "matematyki eksperymentalnej", jest to powiew świeżego powietrza po modzie bełkotu o etnomatematyce, która przyniosła nieskończenie wiele doktoratów i przez parę pokoleń świat będzie musiał to znosić ale w istocie dobrze jest czasami przypomnieć ludziom, że sprawdzenie na komputerze, że n jest mniejsze do kwadryliona dla 50 bilionów nie jest dowodem tego stwierdzenia.

W gruncie rzeczy jest tam nieco powrotu do radosnych źródeł matematyki i choć uświadamiam sobie ryzyko i słabości, korzystam pełną chochlą i lubię. Gauss by się czasami posikał z zazdrości jak szybko się odrzuca niedobre hipotezy.
-
2010/07/21 19:21:04
Sugestia Autora, że żabojady mają lepszą inżynierię od jankesów, bo ułamki zwykłe w kalkulatorach stosują, rozbawiła mnie okrutnie. Jest dokładnie odwrotnie. W technice, zapis inny niż z przecinkiem Francuzi od dwóch wieków konsekwentnie zwalczają, a anglosasi w najlepsze ułamkową miarę calową dotąd stosują, nie bacząc na to, że im z tego powodu coraz to jakiś satelita spadnie. Ale i w tym nie są oni konsekwentni, bo w mechanice precyzyjnej używają tysięcznej cala (w zapisie - a jakże - z przecinkiem). Takie to bezideowe ludzie są.
Reszty Wysokiej Dyskusji nie pojąłem, ale widzi mi się, że to akademickie rozważania są, które my, starzy inżynierowie, co z suwakiem jeszcze startowali, mamy w pogardzie.
Z pitagorejskim pozdrowieniem - starszy.
-
2010/07/21 20:53:06
No, prawdę powiedziawszy, to nie zupełnie coś takiego o "żabojadach" napisałem. Dokładniej (jeśli mi to zbyt skrótowo wyszło) tak rzekę: oni są bardzo dumni ze swojej wielkości i lepszości (nie umieszczam tu mojej opinii, nawet w formie emotikonów) i gdy mogą to Stanom przygryzają. Gdy zrobił się zalew kalkulatorów, byli wśród pierwszych, którzy je do szkoły wpuścili, ale żeby było inaczej niż w Stanach nastawali od początku i to przez programy zatwierdzone przez Ministerstwo, że ma być też notacja ułamkowa.

Żadnych szerszych tez (że np. Stany ułamków nie znały, że Francuzi ułamki wymyślili itp.) nie wysuwałem. Czy teraz jest trochę jaśniej?

Ja przed suwakiem leżę jak inni na Krakowskim (przed) krzyżem, ale zauważ, że gdyby Napier w teorie się nie wdawał, to by liczył na fasolkach a nie na suwakach i śrubach.
-
Gość: starszy58, 87-205-200-240.adsl.inetia.pl
2010/07/21 22:41:45
Tak naprawdę, to nie w takiej, lub innej notacji jest problem, ale w kalkulatorach jako takich. Tą protezę dostają uczniowie do ręki za szybko. Etap patyczków, czy wspomnianych fasolek gdzieś przepadł. W drabinie prowadzącej umysł do abstrakcyjnego myślenia matematycznego znikną pierwszy szczebel. Na studiach dorabiałem korepetycjami z matematyki, teraz robi to moja córka. Ma problemy z maturzystami, które za moich czasów dotyczyły pierwszoklasistów po kiepskich podstawówkach. Ci ludzie nie potrafią liczyć w pamięci. Owszem, po mechanicznym rozwiązaniu pięciu tysięcy zadań, zostają nawet - pożal się Boże - inżynierami, ale zastosowanie tw. Pitagorasa w rozwiązywaniu praktycznego problemu, przekracza ich mentalne możliwości. Ja wiem. Kalkulatory w rączkach przedszkolaków, to tylko cząstka problemu, ale fakty są faktami. Mamy zapaść.
-
2010/07/22 04:20:59
Żeby nie było nieporozumień. Amerykanie nie używają przecinka w zapisie dziesiętnym - używają kropki . Piszą "3.14" a nie "3,14". Mówią "three point fourteen", a nie "trzy koma czternaście".

Zamist -"zmiennoprzecinkowe" mówią "floating point", tacy to dziwacy.

Także, używają skali temperatury rodem z Gdańska, i miar, które każdy nosi przy sobie.

Tak mają. Francuzi, a w ślad za nimi Polacy - mają inaczej. Maja wzorzec metra w Sevres, a raz nawet 10-dniowe tygodnie próbowali wprowadzać.

Na próżno dyskutowac o wyższości jednego nad niższością drugiego. Amerykanie nie dyskutują. Polacy - owszem. A przecież ceche i mantrysę, ups, pardon, całkowitą część od ułamkowej można oddzielać czym się kce, choćby gwiazdką lub emotikonem, np. 3:)14...

Ale przecinek powoduje więcej zmyłek niż kropka. Np.,
x=x dla/pour/for x=0,1
wywoła wstrząs mentalny i moralny u Francuza i u Polaka. A dla Amerykana - (takiego z doktoratem) - jak splunąć.
-
2010/07/22 04:21:37
"Ja wiem. Kalkulatory w rączkach przedszkolaków, to tylko cząstka problemu, ale fakty są faktami. Mamy zapaść"

Gdy mieszkalem w stanie Alabama, znalazlem w miejscowej gazecie ogloszenie: "Potrzebny nauczyciel do szkoly podstawowej.... Wymagane umiejetnosci: 4 dzialania bez kalkulatora, incluging long division". Usmialem sie jak norka, i pokazalem znajomej pani, nauczycielce, majac nadzieje ze tez sie usmieje.

Zmarszczyla brwi i powiedziala: "Nooo... jak beda tak wysoko stawiac poprzeczke, to dlugo beda szukac.." Z dalszej dyskusji wyniklo ze nie zartowala.

Jakis czas temu porzucilem amerykanska "akademie" i poszedlem do przemyslu. Dluzej nie chcialem partycypowac w tym oszustwie. Teraz robie jako cos w rodzaju "chief scientist". Poniewaz towarzystwo jest dosyc male, od czasu do czasu dostaje nieproszone oferty pracy. Jakis czas temu dostalem, z calkiem OK firmy: "Chief Scientist, Ph.D. w tym albo Ph.D. w tamtym. Oraz "Special requirements: IN-DEPTH UNDERSTANDING OF FRACTIONS AND PERCENTAGES".

Wszystko mi opadlo...
-
2010/07/22 04:22:27
Niestety, kwadrat się nie zapisał. Miało być x^2=x.
Czemu ten blox nie akceptuje normalnego HTML-u?
-
2010/07/22 04:23:39
Manula66:

Bajdy.
-
2010/07/22 04:27:20
Gosc: " Mamy zapaść"

Poneiwaz wyglada na to ze "gosc" pisze z Polski...Gosciu, zapasc to mamy w Polsce tez. Po slynnych Giertychowych eksperymenatch i nie tylko, na studia idzie tlum ktory nie ma zielonego pojecia o atytmetyce. Ile razy jestem w Polsce odwiedzam moja Alma Mater i slucham opowiesci mocih uczonych kolegow. Wlos sie jezy na glowie.
-
2010/07/22 04:32:27
"Bajdy"

Co bajdy? ja prosze Kolegi, gdy jeszcze robilem za profesora, nauczalem raz ulamkow w takich "Osrodkach Doskonalenia Wiedzy" dla nauczycieli. Kazdy dostawal jakis syf od czasu do czasu. W tych Osrodkach gromadzono najlepszych nauczycieli ktorzy mieli sie uczyc ulamkow, a potem ci najlepsi szli w teren aby szerzyc Kaganiec Oswiaty.

Nie bede pisal co tam sie dzialo, bo Szanowny Kolega znow mi napisze "bajdy"

Natomiast list z oferta gdziez mam w szpargalach, postaram sie w weekend znalezc ale na 100% nie obiecuje
-
2010/07/22 07:09:26
@tichy, wybacz te gawędy o html w bloksie, ale tu zdołasz nazwami a nie numerami (taka ich uroda), więc na przykład widzisz 8² dlatego, że po ósemce napisałem ampersanda, potem sup2 a potem średnik.

A ze Stanami to już się nauczyłem, że są takie duże i niejednorodne, że wszystko jest możliwe. Ciekawe, tu też miejsce duże, etnicznie równie dziwne mieszanki i składanki, ale jakoś bardziej to jednorodne. Nie oceniam, próbuję tylko zauważyć.
-
2010/07/22 19:12:20
@5-grid
Słuszna racja, ale mało tego. Jankesi naszą jedynkę czytają jak siódemkę, naszej pięknej przekreślonej siódemki wcale nie czytają, bo nie wiedzą, co to za dziwo. No i dzielenie zapisują dziwnie. Z tych wszystkich powodów, pewien znajomy medyk na teście z czterech działań, uzyskał 32pkt-y na sto możliwych i go na nowojorski uniwersytet nie przyjęli, bo mu 2pkt-ów zabrakło. Było to podwójnie bolesne, bo po pierwsze zniżka na metro przepadła, a po drugie, ludki z podłomżyńskich wsi mieli go odtąd za ćwoka, jako że oni na tej szacownej uczelni dawno studiowali. No ale ci przemyślni i hojni ludzie, mieli zwyczaj na takie testy niżej podpisanego i mu podobnych wysyłać.
Zaznaczam, że było to za niesłusznego burmistrza demokraty, bo ja stary jestem i stare historie wspominam.
-
2010/07/23 07:09:13
Co to się porobiło...
Najpierw, andsol, który z jakiegoś powodu uważa, że w USA panuje niejednorodność.

Ano, panuje, i nie panuje. Panuje jednorodność inaczej. Odchyłki wynikają bardziej z braku centrali niż z braku jednorodności, wciąż owa sie zmienia w sposób ciągły. I tak, między człowiekiem miejskim, z USA czy z Brazylii, a człowiekiem wiejskim, z tamże, różnice będą mniejsze w pionie niż w poziomie. (czy na odwrót?)

Dalej, mamula66. Jest takie pisemko amerykańskie pn. "Readers' Digest" zawiera dowcipy, wice, rady i porady, trochę podlane New Age z powodów sprzedażnych - zwykle owo się znajduje w poczekalniach u dentystów. Opowieści mamuli, które okresliłem jako "bajdy" - jakby stamtąd pochodziły. Skądinąd znane sa jako "urban legends".

Sa to historie, które nie zaprzeczają prawom fizyki ani biologi, ale jednak sa wyssane z palca. Albo skopiowane z "Readers' Digest".

Teraz 'starszy58' - no, prawie jak 'mamula66'. No, dyć tak na uniwersytety nie przyjmują. Owe mają swoją tajną formułę, ale tak - jak opisane - ona nie pracuje.

Ale też, głowy nie dam, bo jak andsol zauwazył, kraj niejednorodny, i na dowolną opowieść - bez względu jak dziwaczną - znajdzie się jakieś miejsce i czas, gdy scenariusz tej opowieści faktycznie zaszedł.

Pzreciez tu są miasta, które mają 5 (słownie - 5) mieszkanców, w tym szeryf i burmistrz, i sędzia pokoju, plus ich żony. Rachunek się nie zgadza? Ale, to kolejna opowieść z "Readers' Digest".







PT KOMENTATORZY, wiedzcie: wyrzucam (prawie) wszystkie komentarze gdy link z ksywki prowadzi do działań komercjalnych. To jest blog psa ogrodnika: sam nie zarobię tu i innym nie pomogę.