Jeść można bez widelca. Ale z nim jakoś schludniej. I poręczniej.

Matematyka istniała przez wiele wieków bez swoich widelców. Nie używała słów funkcja, zbiór, równoważność – ale pojęć używała, owszem. Z pewnością jaśniejsze uchwycenie o co chodziło w różnych wywodach, wyrażone lepszej jakości słownictwem, przyczyniło się do tworzenia lepszych wyników – a i w drugą stronę to biegło, wielość i jakość wyników mogła łatwiej dotrzeć do specjalistów i laików dzięki lepszej jakości słownictwa.

Ale sprawiające wrażenie magii przeskakiwanie nad pojęciowymi dolinami i górami zawsze przynosi niemiły efekt – rozplenienie się magików języka, wierzących, że to tędy droga do raju. W wielu dziedzinach ludzkich trudów możesz dojrzeć to zjawisko – odkrycie znaczenia chwili ciszy w muzyce zrodziło stada teoretyków usypiających słuchaczy minutowymi pakietami ciszy; lewicowych i prawicowych zbawicieli świata wierzących, że narzucenie pewnej grupie ludzi stosownie niemiłej etykietki naprawi ekonomię, etykę oraz politykę; menadżerów dodających do znanych z Rzymu zasad administracyjnych japońskie słowa kan – kon – kun, w wierze, że wtedy firma zabłyśnie na giełdzie. Itp, itd.

To samo zdarzyło się w matematyce. Wielkie szczęście, że skończyło się paplanie o aglomeracjach i o miejscach geometrycznych oraz agregatach, a weszło słowo zbiór – ale często stało się elementem niezrozumiałej liturgii i zamiast być bronią obronną przeciw mętniactwu stało się uzbrojeniem w służbie nudy. Albo... może zechcesz stworzyć test złożony z trójek słów jakoś tam powiązanych prosząc, by trójki mające jakieś powiązania zostały postawione przy sobie; i wmontuj tam dwie trójki, jedna to będzie (funkcja, argument, wartość) a druga – (zależność, przyczyna, skutek). Przypuszczam, że nierozumienie sensu oklepywanej przez lata w szkole funkcji przez większą część społeczeństwa natychmiast ujawni się tym, że mało kto powiąże sobie te zestawy.

Najokropniej rzecz wygląda gdy wchodzi na scenę relacja równoważności. Wtedy staje się jasne, że widelec jest bardzo dobry gdy się pokaże parę razy jak go używać, natomiast wbicie go ofiarze w głowę nie przynosi pożądanych efektów.

A rzecz jest w bardzo naturalnym pojęciu, którego używamy bezustannie. Odróżnianie i klasyfikowanie są wśród najważniejszych procesów przebiegających w naszych głowach. Uniknę ewentualnych pytań technicznych psychologów przenosząc się do świata informatyki: w słynnej trzytomowej The Art of Computer Programming Knutha cały trzeci tom jest oddany tematowi Sorting and Searching – sortowanie i odszukiwanie.

Jak rozłożyć na szuflady stos wszystkich posiadanych ubrań? Wiele osób skojarzy różne szuflady z różnymi częściami ciała: tu skarpetki, tam koszule, gdzie indziej czapki, jeszcze szuflada majtek... Albo rozdzielmy do pudełek całą kolekcję monet zebranych po świecie: tu Maroko, tam Rosja, Anglia... Ale można też je rozdzielić zupełnie inaczej: wartościami na nich wybitymi, 1, 2, 3, 5, 10, 20, 25, 50. Lub na jeszcze inne sposoby.

Gdzie nie zerkniesz, są jakieś klasyfikacje: książki – może skupione na regałach typem literatury? Językiem? Wymiarem?

Jak te wszystkie zjawiska ująć takim opisem, który zatrzyma to, co ważne? Mówiąc o zbiorach i podzbiorach sprawa staje się dziecinnie prosta. Rozbijamy jakiś zbiór na części, na podzbiory.

Żaden z podzbiorów nie jest pusty, nie ma szuflady na getry jeśli nie mam ich w domu. Nie ma pudełka na monety noszące cyfrę 4. Ani półki na średniowieczną nowozelandzką literaturę. To pierwsza ważna cecha rozbicia. Druga to gwarancja, że nic nie zostało na podłodze. Każdy ciuch znalazł swoją szufladę, każda moneta – swoje pudełko, każda książka – swoje miejsce na regale. A trzecia polega na tym, że każdy obiekt leży w jednym miejscu i nie skacze między pudełkami czy szufladkami. Czapka nie bywa czasami butem, 2 grosze nie stają się w bezksiężycowe noce pięciogroszówką. Koniec, załatwione. Relacja równoważności to efekt pewnego pomysłu na podział całego rozważanego kawałka świata.

Nawiasem, gdy wdaję się w rozważania nad tym kawałkiem, nic innego mnie nie interesuje, tylko on. Może dlatego utarło się wśród matematyków używanie w tym wypadku słowa uniwersum? Brzmi to nieco patetycznie i czasami jest zastępowane słowem przestrzeń, ale z dwojga złego wolę uniwersum, bo przestrzeń zbyt usilnie sugeruje jakieś geometryczne rozważania, a mogę właśnie wdawać się w klasyfikację gwarowych wyrażeń używanych przez kibiców piłkarskich.

A czemu nie trzymać się prostego słowa zbiór? Dla uniknięcia aliteracji. Posłuchaj tylko: zbiór rozłącznych podzbiorów mego zbioru... Po jednym razie uszy bolą. A jeśli umówić się, że zbiór złożony jedynie z podzbiorów (np. zbiór gwoździ podzielony na grupki wedle wymiarów) nazwiemy rodziną podzbiorów, aliteracja jest wyeliminowana. Mamy uniwersum rozbite na rodzinę podzbiorów.

I życie byłoby piękne i proste ale jest tu pewne ale. Nie chodzi o tę nazwę partycja, bo łatwo domyślimy się, że to synonim podziału. Ani nawet o użycie dla szufladek czy pudełek terminu klasy równoważności (czemu klasy a nie drużyny albo armie?), choć coś zaczyna się w żołądku przewracać gdy wchodzi na scenę Wielki Formalista i nastaje, że ten cały proces jest abstrakcyjny i dlatego te klasy mają się nazywać klasami abstrakcji, wszystkie szuflady (pudełka, półki) to przestrzeń ilorazowa (ilorazowa??? aha, bo dzielimy) i w dodatku coś ładuje o zasadzie abstrakcji (pod koniec wyjaśnię co to za dziwadło) – chodzi mi o poważniejsze, nie związane z nazewnictwem problemy.

Specjalista natychmiast zmartwi się słysząc, że nie mówimy o elementach ale o rodzinach podzbiorów złożonych z elementów, bo – powie on – będą kłopoty z kwantyfikowaniem po podzbiorach. Bo to jest coś zupełnie innego niż używanie zwykłych kwantyfikatorów, inna, nieelementarna logika. (Przy okazji, jeśli przyjdzie ci do głowy czytać mnie na głos, błagam, nie akcentuj logiki na środkowej sylabie. Ja nawet po pijanemu tego bym nie zrobił. Ale jeśli ukradniesz mi tekst i pod nim się podpiszesz to już twoja sprawa jak to czytasz). A jeśli nie jesteś specjalistą i nie chcesz słyszeć o kwantyfikowaniu po podzbiorach, to wyjaśnię ci inny kłopot, który szybciej ujawnia swoją złowrogą gębę.

Wyobraźmy sobie, że ktoś ma sto ponumerowanych ołówków i dzieli je wedle jakiegoś pomysłu. Jeśli będę chciał sprawdzić czy istnieje w użytym rozbiciu podzbiór zawierający tylko ołówki z numerami 99 i 100, przy braku szczęścia sprawdzanie może potrwać dłużej niż życie na Ziemi, bo może się zdarzyć, że podzbiór {99,100} jest czwartym od końca sprawdzanym (pozwól, że ołówek zastąpię jego numerem). Dlaczego czwartym? Zbiór pusty odpada. A zbiory mające po jednym elemencie, {99} i {100} byłyby dwoma z ostatnich do sprawdzenia. Czyli mogło by się zdarzyć, że przed trafieniem zrobiłbym... bagatela, 2¹⁰⁰-4 prób. Czemu tak dużo? A bo ten zbiór ołówków ma 2¹⁰⁰ podzbiorów. To jest naprawdę dużo i lepiej nie myśl o tym bo może skręcić człowieka lepiej niż voodoo.

Gdybym działał na poziomie elementów, w najgorszym razie zrobiłbym 99 prób. Czy setny ołówek jest razem z pierwszym? Z drugim? Z trzecim? I tak dalej.

Jak opowiedzieć bajkę „rozkład uniwersum” w języku elementów, nic nie mówiąc o podzbiorach? Genialnie prosto. Kto na to wpadł był czarodziejem, nie gorszym od Gödla, który wymyślił numerowanie zdań.

Mam uniwersum X i jeśli p oraz r są w jednym pudełku (są tu sobie równoważne, czyli są w relacji, którą oznaczę literką E), zapiszę to tak: pEr. Otóż wymóg, że dla każdego t w X mam tEt to zręczny sposób na powiedzenie, że każdy element jest w jakimś pudełku, nic nie zostało zapomniane.

Jak zagwarantować, że mam w pudełkach prawdziwe podzbiory? Żądaniem, że dla każdej pary elementów p, r zachodzi coś takiego: jeśli pEr to także rEp. Dziwne, ale to świetnie działa. A jak to powiedzieć, że pudełka są rozłączne, nie mają wspólnych elementów? Jeszcze ciekawiej: gdyby p, r były w jakimś pudełku oraz r, s też były w jakimś pudełku, to było by to jedno i to samo pudełko! Czyli wymagam dla jakiejkolwiek trójki elementów p,r,s z X: jeśli pEr oraz rEs to pEs.

Teraz oblepimy te wymogi nazwami: zwrotność, przemienność, przechodniość. Zamiast przemienności czasami mówi się o symetrii.

Wspomniana zasada abstrakcji to stwierdzenie (no tak, twierdzenie), że jeśli mam te trzy wymogi, to cały zbiór X jest podzielony na rozłączne kawałki.

A teraz pobiegaj po Sieci i sprawdź, że dziesiątki, setki źródeł zaczynają od wbicia widelca w głowę, od żądania, byś zapamiętał owe trzy wymogi, potem byś utrwalił sobie przeróżne śliczne terminy – a czasami, jeśli nie zapomną o co tam chodziło to nawet łaskawie zostanie wyjaśnione, że rozbijasz jakiś zbiór zgodnie z pewnym pomysłem na klasyfikację jego elementów.

Czemu to się robi w taki sposób? Aaa, jest poważna przyczyna, która wszystko wyjaśnia.

Bo to jest tak robione już od kilkudziesięciu lat.

Nie martw się, matematyka nie zabrania być szczęśliwym. Matematyka nie jest okrutna, to niektórzy matematycy ... e tam, pomówmy o czymś innym.