Linki do części 1 oraz części 3.

Trzeba będzie wziąć się za następne dziwne słowo, homeomorfizm, ale przedtem pomyślmy o sferach w ogóle. Uczą w szkole przekładu z geometrii („okrąg”) na algebrę („równanie okręgu”) i jest spora szansa, że wiele osób to pamięta, w końcu to zaledwie użycie stareńkiego twierdzenia Pitagorasa i zamiast mówić o „punktach z odległością 1 od punktu Q” pisze się o parach zmiennych mających sumę kwadratów 1. Chwileczkę, to jest na płaszczyźnie. Punkty wewnątrz okręgu (mające odległość mniejszą niż 1) nazywamy kołem czy kręgiem, a okrąg to jego brzeg. Ale nigdy nie wiadomo o czym ktoś myśli mówiąc o kole, czy chodzi mu o obrzeże, o wnętrze czy też o wnętrze z obrzeżem. Więc nie z fantazji a z obronnych motywów matematycy wolą brzeg nazywać okręgiem, a jeszcze lepiej 1-wymiarową sferą, a wnętrze – (otwartym) 2-wymiarowym dyskiem. I dziecko (szczególnie dziecko) domyśli się, że 3-wymiarowy dysk to wnętrze piłki, a jej brzeg, 2-wymiarowa sfera to sfera czyli powierzchnia piłki (a jej równanie mówi, że trzy zmienne w kwadratach mają sumę 1). I z głupia frant można zapytać co to jest 1-wymiarowy dysk? Proponujesz otwarty (czyli: bez końców) odcinek? Świetnie, to dobrze się składa. Ale czym będzie wobec tego jego 0-wymiarowa sfera, dwoma punktami? A czemu nie? Brzmi logicznie i nikomu nie szkodzi.

I widać, że gdyby zlepić w jeden punkt ten 0-wymiarowy brzeg 1-wymiarowego dysku (skleić razem dwa końce odcinka), to by wyszła 1-wymiarowa sfera, okrąg. Gdyby zlepić w jeden punkt cały 1-wymiarowy brzeg 2-wymiarowego dysku (z cienkiego ciasta zrobić okrągłego pieroga), będzie 2-wymiarowa sfera. Jak zlepić w jeden punkt cały 2-wymiarowy brzeg 3-wymiarowego dysku, wyjdzie 3-wymiarowa sfera.

Nie da się zlepić? Wiem, mamy mało przestrzeni na to, a raczej mało wymiarów. Odcinek lepiliśmy na płaszczyźnie, pieroga robiliśmy w (3-wymiarowej) przestrzeni, zawsze musimy mieć luz z dodatkowym wymiarem. Więc tylko równaniami da się tu pracować, ale co w tym złego, przecież nikt nie obiecywał, że wszystko da się oglądać w klasycznych 2-wymiarowych obrazkach; gdy na ilustracji widzimy wielkiego mężczyznę a zza niego wystaje noga w damskim sandałku, rozumiemy, że wcale mu nie wyrosła trzecia noga ale że z tyłu jest jego wielka żona i widać tylko jej kawałek. I nikt nie bije ilustracji, żeby żona szybko wyszła na pierwszy plan.

Dobrze, że mówimy o geometrii, bo tutaj funkcje są nazywane przekształceniami i to jest do wytrzymania; gdy mówi się o funkcjach, to zamiast myśleć o zależnościach większość laików popada w depresję. Ale przekształcenie jednego tworu w drugi nie niepokoi, prawda? I nawet dość skomplikowane formalnie pojęcie ciągłego przekształcenia nie przeraża, bez żadnych zapisów z kwantyfikatorami można sobie wyobrazić, że to takie przekształcenie, które niczego nie rozrywa. Jeśli były jakieś punkty powiązane łukiem (czy odcinkiem), to po przekształceniu ten łuk może się wykręcił i nie jest ładny, ale ciągle łączy dwa otrzymane (przekształcone) punkty. Pomyślmy o okręgu i o nowej znajomej, lemniskacie. Jeśli okrąg jest z gumki do włosów, to skręcając i lepiąc ją w punkcie skrzyżowania, zrobię z niej lemniskatę. A z lemniskaty też da się zrobić okrąg, nieco brutalnie nałożę lewą stronę owej ósemki na prawą i skleję, a potem rozciągnę – i będzie okrąg nawet w oryginalnym wymiarze.

Ale nie było to przekształcenie z tych cenionych w matematyce, to nie było odwrócenie procesu. Przekształcenie odwrotne wymagałoby rozrywania kokardki, nie byłoby przekształceniem ciągłym. A dla nas właśnie najważniejsze są takie przekształcenia, które ma swoje przekształcenie odwrotne (po wykonaniu obu transformacji każdy punkt wraca do oryginalnego położenia) i oba przekształcenia są ciągłe. Takie właśnie przekształcenie nazywamy homeomorfizmem.

Czemu ono jest takie ważne? Bo dwie formy, pozwalające na ciągłe przejścia od jednej do drugiej w ten sposób, że po powrocie „nic się nie zmieniło” (dla takiej funkcji jestem fanem nazwy lenistwo, ale uczciwa matematyczna tradycja nazywa ją identycznością)  traktujemy właśnie jako „takie same”.

Drobna przerwa na ostrzeżenie przysłane przez nasz Wydział Usług Publicznych: być może ktoś czytający to jest też zainteresowany algebrą (a powiązania między topologią, czyli geometrią przekształceń ciągłych, a algebrą są zdumiewająco głębokie) i zauważy, że w algebrze też jest słówko na powiedzenie „dla mnie te dwa obiekty równie dobrze służą, mogę powiedzieć, że one są «takie same»” – ale w przypadku algebry to nie chodzi o słowo homomorfizm (taka funkcja może nie mieć odwrotnej) ale o izomorfizm. Bałagan terminologiczny? Oczywiście, rzeczy były robione w różnych miejscach, z różnych przyczyn, w różnych okresach, i ktoś mógłby zaoferować pomoc z uporządkowaniem terminologii, ale jak mówiono po łacinie: timeo Danaos et dona ferentes, co znaczy: „boję się biurokratów gdy chcą wprowadzić porządek”.

Jak długo można bawić się w toczenie obręczy? Przejdźmy do doroślejszej rozrywki, do piłki. Tu są piękne możliwości modyfikowania form przez chirurgię. Nie, nie trzeba silikonu. Pomyśl o 2-wymiarowej sferze, z której wytniemy dwa małe dyski. Otrzymana dziurawa piłka ma brzeg złożony z dwóch 1-wymiarowych sfer. I taki sam brzeg ma pusta rurka (sama powierzchnia). I możemy dokleić ją do dawnej zwykłej piłki, dostaniemy piłkę z rączką. Może trudniejsza do kopania ale o ile łatwiejsza do noszenia. O, proszę zerknąć tutaj, na zielony obrazek, na piłce zrobiono trzy chirurgie, doklejając jej trzy rączki. Po angielsku te nowe twory nazywa się właśnie handlebodies, ciałami z rączkami. Zauważ, że gdyby piłka z jedną rączką była balonem, to naciskając trochę tu i tam zrobiłoby się z niej (przekształcenie homeomorficzne) oponę czyli torus. I to jest coś bardzo odmiennego od piłki. Powiedzmy, że splatając ręce obejmę oburącz dużą piłkę od ćwiczeń pilates, ale dziecko uderzając ją z dołu ją uwolni. A z oponą to się nie uda. Co więcej, gdybym był w środku torusa, mógłbym go trzymać w zupełnie inny sposób, obejmując go wokół od wewnątrz.

Te uściski 2-wymiarowej sfery i torusa są dużo ważniejsze niż może się to pierwotnie wydawać. Mógłbym sferę opleść zawiązanym na końcach sznurkiem sto razy, a i tak uwolnienie sfery było by możliwe. A z torusem ilość obiegów z zewnątrz czy w środku za każdym razem daje zupełnie odmienne zaplątanie.

Tak dla porządku, jak ktoś ma złośliwe poczucie humoru to chirurgię zrobi dziwnie i zamiast torusa dostanie butelkę Kleina. Ona już dwa razy pojawiła się na blogu: tu i tu, ale dziś nie chcemy jej, bo interesują nas rzeczy orientowalne, gdzie ma sens „po prawej, po lewej” czy „na zewnątrz, wewnątrz”. Idź butelko do butelek, my tu wolimy opony.

Oczywiście sfera nie ma zaplątań, każda pętla na niej może być ściągnięta do jednego punktu. I tu leżał głęboko pogrzebany pies, który ujawnili dwaj niemieccy matematycy, Herbert Seifert i William Threlfall (student i jego profesor, zresztą historia pięknej przyjaźni) w książce Lehrbuch der Topologie wydanej w 1934 roku. Otóż wzięli 3-wymiarowy dysk ale zamiast skleić jego brzeg w jeden punkt zrobili dużo dziwniejszą rzecz: zamienili go na dwunastościan (dziś każde dziecko zna go z Mundialu) i pokleili pięciokąty leżące po przeciwnych stronach piłki, ale z lekkim skrętem. Pamiętasz, że to się robi w 4-wymiarowej przestrzeni? No więc okazało się, że to, co otrzymali, to jest prawie sfera 3-wymiarowa, ale nieco dziwna. Są tam takie pętle, których nie da się ściągnąć do punktu.

Ta historia z pętlami, teoria homotopii, jest fascynująca, żyje tak w topologii jak i w algebrze (teoria grup). Wtedy teoria była bardzo młoda i jej pojawienie się w tym poklejonym tworze było zdecydowanym sukcesem. Rzadko kiedy jeden wyrazisty występ tak zdecydowanie gwarantował nowej teorii solidne miejsce wśród poważnych i ważnych dyscyplin. I okazało się, że dla scharakteryzowania sfery 3-wymiarowej trzeba dodać nowy wymóg, że pętle w zbiorze, który by mógł być homeomorficzny z nią, muszą być ściągalne do punktu. Po angielsku najczęściej używa się terminu „simply connected”. Po polsku przyjął się jednospójny. A więc zbiór ma być nie tylko spójny, nierozrywalny na osobne kawałki, ale i jednospójny, czyli też uwalnialny z każego więzienia zrobionego ze sznurka.

O, widzę, że trzeba będzie zrobić jeszcze jedną część tej opowieści, bo nikt nie jest z żelaza, a nawet gdyby był, to też nie wytrzymałby nadmiernego lania wody. Czy zgodzisz się, że dokończenie nastąpi w środę? Oglądalność bloga i tak zjeżdża bardzo (oczywiście to może być nie przez sfery a przez Wielkanoc); zobaczymy ilu widzów wytrzyma do końca przedstawienie jedynie z gołymi sferami.