Linki do części 2 oraz części 3.

Powtórzę komentarz Krzysztofa Nawratka, wyjaśniający moje odejście od niematematyki albo od bardzo elementarnej matematyki na tym blogu:

andsol: moja żona twierdzi, że masz moralny obowiązek wytłumaczyć laikom co to znaczy że: „każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową”

(rozumiem słowo „trójwymiarowa” i domyślam się znaczenia słowa „homeomorficzna”, reszta jest dla mnie kompletnie niezrozumiała...)

W gazetach, nagle przyciągniętych do sfer, można odnaleźć takie zwroty:

To centralny problem zarówno matematyki, jak i fizyki, ponieważ wiąże się z pytaniem, jaki jest kształt Wszechświata.

Wzruszające i poruszające. Brzmi prawie tak dumnie jak fraza o matematyce królowej nauk. I gdyby ten blog miał nazwę „Migotanie metafizyki” mógłbym dorzucić wiele wzniosłych uwag w tym stylu. Ale to jest „Migotanie słów”. Więc do roboty, na prostszym poziomie.

Na początku było słowo. I słowo nazywało rzecz, albo akcję, albo stan, i dobrze było. Więcej powiem, był Raj. Ale z powodu jednego trudnego do wymówienia słowa: „jabłko” ludzie i słowa zeszli na Ziemię i zrobił się bałagan. Bo rzeczy i stany zaczęły się mnożyć i samych owadów zrobiło się koło miliona gatunków – i kto by spamiętał ich nazwy. Więc zaczęło się lepienie rzeczy w grupy i kategorie i zespoły i aglomeraty i słowo mogło tyle rzeczy znaczyć, że aż strach.

I w ciągu całego naszego pobytu na Ziemi, jaka by nie była nasza społeczność, język i kultura, zawsze bawiliśmy się słowami. Zagadki, rebusy, psujki słowne i dwuznaczniki, aż do wymyślenia obrazków w konserwach to były nasze najmilsze rozrywki. Pojawiły się nawet dwa zawody na pe, pytie wyjaśniające co trudne słowa znaczyły i poeci, pokazujący niedostrzegalne nitki wiążące słowa i rzeczy.

Wyraźnie widać dwa kierunki zabawy. Rzucić słowo i odkryć wszystko co ono może znaczyć. Świetny przykład, przerobiony przez każdego z nas w dzieciństwie, to słowo „zwierz”. Na początku pasowało co miało cztery łapy i ogon. Potem doszły ryby i ptaki. Większość z nas zgodziła się w pewnym momencie, że człowiek to też zwierz. A potem doszły ogórki morskie czyli strzykwy, rozgwiazdy i krewetki i nawet roztocza.

O jednomyślność w tej zabawie bywa trudno, na przykład „demokracja” ma ponad 200 znaczeń tak odmiennych, że nie ma sensu używanie tego słowa.

W drugą stronę, od rzeczy czy stanu do słów, też nie ma gwarancji, że pójdzie gładko. Na przykład coś w kimś się rusza i on mówi, że to jego urażone uczucia religijne a inni mówią, że takiego czegoś nie ma. Ale zabawę w opisanie tak dokładne czegoś, o czym myślisz, w niewielu słowach (powiedzmy: dwudziestu) chyba wszyscy znają. Pytam zdaniami krojącymi rzeczywistość na dwie części, wewnątrz ogrodzenia i poza nim, ty odpowiadasz „tak” lub „nie” i po 20 pytaniach prawie zawsze mogę dojść do czegoś, o co ci chodziło. To się nazywa charakteryzacją obiektu.

Może wydawać się, że słowa matematyki są najprostsze do scharakteryzowania. Wszyscy widzą obiekty tak samo, nie ma ciemnych interesów skłaniających do oszukiwania czy przeciągania publiki na swoją stronę, więc wszyscy patrzą z nadzieją na matematykę: tu będzie jasno, prosto i wyraźnie.

A zabawa psuje się od samego początku. Co to jest „punkt”? Kropka, owszem, ale jak duża i w jakim kolorze? Więc skoro powiedziano, że punkt to jest coś, co nie ma wymiarów, to sprawa nie jest dobra. Bo od takiej definicji, jak ją potraktować serio, idzie się szybko do psychiatry. Niewykluczone, że to matematyka zrodziła ten zawód.

Bardzo powoli idę do hipotezy Poincarégo? Wiem, ale ważny nie jest pośpiech, ale żeby nie zanudzić.

Więc biorę dwie formy tak elementarne jak odcinek i okrąg. Pierwsza to kawałek prostej między dwoma różnymi punktami, a prosta spada z nieba, czyli nie definiuje się jej. Jest i już. Do zrobienia drugiej muszę mieć punkt i długość jakiegoś odcinka i biorę wszystkie punkty na płaszczyźnie mające tę samą odległość od początkowego punktu, a mierzącą właśnie tyle co owa wybrana długość. Formy bardzo różne, ale gdybym miał tylko jeden wymiar i żyłbym w jedej z nich, czy mógłbym wiedzieć gdzie jestem? Czyli: jak odróżnić odcinek od okręgu nie dzięki odmiennemu położeniu na płaszczyźnie ale dzięki jakimś wewnętrznym cechom?

Jeśli odcinek ma końce (choć jeden z nich), sprawa jest prosta: żyjąc w okręgu zawsze mogę poruszać się w obie strony. Każdy punkt jest wewnętrzny. A z końca odcinka (z jego brzegu) w jedną ze stron nie mogę się ruszyć.

Ale jeśli wziąłem odcinek bez jego brzegu, czym go odróżnię od okręgu? Jak blisko bym nie był od (wyrzuconego) brzegu, zawsze mogę poruszyć się „troszeczkę” w obie strony, czyli i tu każdy punkt jest wewnętrzny. Ale właśnie tu jest słaba strona odcinka, mogę zrobić w nim nieskończenie wiele małych (coraz mniejszych) kroków i nie zbliżam się do jego punktu, a do wyrzuconego uprzednio brzegu. A w okręgu nie ma tej przykrości. Okrąg nie ma kłopotów z brzegiem, bo nie ma brzegu!

Szybko pojawia się szansa naprawienia trudności, czyli nowego zawikłania sytuacji. Przecież mogłem wziąć odcinek „nieskończony”, czyli całą prostą. Ona też nie ma brzegu. Z tym kłopotem poradzę sobie wprowadzając wymóg, żeby wszystko rozgrywało się na jakiejś kartce. Może być baaaardzo duża, ale we wszystkich kierunkach musi być ograniczona. Więc powiedzmy, że myślimy tylko o formach zwartych, czyli takich, które mieszczą się wewnątrz jakiegoś (być może dużego) koła i zawierają swój brzeg. Ten brzeg może być pusty, czyli po ludzku mówiąc, nie ma go.

I w tej chwili wydaje się, że mamy spokój z jednowymiarowymi tworami na płaszczyźnie: są dwa zwarte modele, odcinek z brzegiem albo okrąg. Wszelkie inne „podobne” formy utożsamiamy z nimi, czyli nie martwi nas lekkie deformowanie.

Dla Jasia Wywrotka, który lubi psuć proste obrazki, spore jest tu pole do działania. Weźmie on odcinek bez brzegu, zagnie z jednej strony do góry i w prawo, z drugiej w dół i w lewo, przybliży dwa (nieistniejące) końce do środkowego punktu odcinka i dostanie (niezlepioną) kokardkę czyli leżącą ósemkę, symbol nieskończoności. I powie: a masz tu zbiór zwarty, ani odcinek, ani okrąg.

Zamiast zbić szczeniaka, z godnością powiemy: „a, lemniskata...” Dobrze jest użyć mądre słowo, by usadzić laika. A chodzi o kokardkę. Na wyspie Lemnos (nie tylko Lesbos zasłynęła z działalności swoich mieszkanek) panie robiły kokardy, tak ładne i tyle ich, że sprzedawały je po całym świecie czyli w całej Grecji. I dla uczczenia tego w XVIII wieku pan Bernoulli nazwał tę formę lemniskatą. No więc lemniskata jest zwarta, ale nie jest jednowymiarowa. W jednym punkcie ma krzyżowanie się odcinków i to zjawisko eliminuje ją z komórki słownej, w której żyją zbiory zwarte i jednowymiarowe.

Ale Jaś Wywrotek ma energie niespożyte i wraca na płaszczyznę z dwoma okręgami. Złośliwie szczerzy zęby i nie mamy lepszego wyjścia niż przyjaźnie poklepać go po plecach, podziękować i powiedzieć: „w istocie mamy jeszcze dodatkowe wymaganie, że figura nie może być zapakowana bez rozrywania do dwóch osobnych pudełek. Musi być spójna.

Czasami mówi się: „łukowo spójna” lub „drogowo spójna” („pathwise connected”). Rzecz w tym, że jeśli w figurze wybiorę sobie jakieś dwa punkty, to zdołam od jednego do drugiego przejść łukiem (odcinkiem, być może zakrzywionym) całkowicie leżącym wewnątrz figury. I między dwoma kopiami okręgu takiego przejścia nie ma. A Jasiu pomógł w uściśleniu naszego wysłowienia: każdy jednowymiarowy zwarty i spójny zbiór bez brzegu jest podobny do jednowymiarowej sfery czyli do okręgu.

Oczka się kleją? Nie ma problemu. Ani pośpiechu. Reszta przyjdzie jutro. Zostały jeszcze tylko dwa wymiary, z krótką dygresją na wyższe od 3.