Zamiar był prosty, chciałem pokazać jak geometrycznie wymyśla się prawie jak na taśmie produkcyjnej różne tożsamości kombinatoryczne. Na pierwszy rzut oka to brzydkie słowo na k mogło zastraszyć, ale wiedziałem jak sobie z tym poradzić. Poprosiłbym: zajrzyj tutaj na trzy odcinki o liczbach figuralnych (jeśli znasz, to tylko przypomnij sobie troszkę). Bo w gruncie rzeczy chodzi mi o liczby trójkątne i o krojenie kwadratów na trójkąty.

Ale na powtórny rzut oka dotarło do mnie, że to z „tożsamością” miałbym kłopoty. Nic dziwnego, pojęcie jest lekko pokręcone. Jeśli mam dwie rzeczy te same i mówię, że są tożsame, to mogą patrzeć na mnie jak na wariata, albo jak na filozofa. A jeśli dwie rzeczy nie są te same, to cóż to za gadanie, że są tożsame? „Iks jest iks” to marnowanie czasu, a „iks to jest coś innego niż iks” może być wstępem do schizofrenii. Więc musiałbym wyjaśnić, że tożsamość to pewne równanie, ale może jakiś poprawny humanista mnie zapyta czemu nie mówię, że „tożsamość to równość” i co ja wtedy zrobię z równością w jednej ręce i z równaniem w drugiej? Zamiast rozwijać temat, zwijałbym się jak w ukropie, żeby odróżnić te słowa i może w pośpiechu bym się wił, sprawiając wrażenie, że temat jest zawiły, a przecież nie jest i mogę to poświadczyć u notariusza. Ale nawijać o tak elementarnych kwestiach nie jest zabawne, więc może mógłbym zaproponować wycieczkę do Wikipedii?

Lepiej sprawdzić co tam stoi, żeby później nie leżeć i kwiczeć. No więc wszystko jest tam świętą prawdą:

Równość to pewna specjalna relacja, która jest relacją równoważności (czyli jest zwrotna, przechodnia i symetryczna). Ważną własnością relacji równości jest to, że jeśli a=b, to dla dowolnego wyrażenia f: f(...,a,...) = f(...,b,...).

Azaliż nie jest to piękne i proste?

No dobrze, dla zdecydowanych psujek i opornych niedowiarków opowiem to w trochę inny sposób.

Jesteśmy w dużej poczekalni dentystycznej i sekretarka organizuje sobie pracę pytając: „kto tu ma nazwisko na A?” Podała ona pewien wymóg, który wyróżni część obecnych. Pomyśl, że masz o tym opowiedzieć swojemu ulubionemu komputerowi, który lubi nawiasy, a nie lubi długich linii. Więc w kąciku zanotujesz: „x to jakakolwiek z osób, p(x) to pierwsza litera nazwiska x-a, pani Cecylia najpierw ustawia tych x-ów, że dla nich jest p(x)=A”

Jej działanie jest zapisane równaniem. Są w nim jakieś dane i jest symbol na oznaczenie którejkolwiek z osób tam będących. I rozwiązaniem tego równania jest grupa (zbiór, powie matematyk) tych, którzy będą na początku kolejki.

Ale na nic równanie nie przyda się, jeśli pani Cecylia zapyta kto ma nazwisko pisane z dużej litery. Może w Indonezji czy w jakimś kraju tak biednym, że ma tylko małe litery, spełni to jakąś rolę,  ale w Polsce każdy zaczyna się na dużą. Proszę mi nie mówić o von, to nie nazwisko a przeżytek i chwalenie się.

Równanie samą swoją konstrukcją gwarantowałoby, że wszyscy będą wyróżnieni. I takie równanie, które z pewnością każdy x spełni, nazywa się tożsamością. Identycznością, jeśli chcesz ułatwić sobie zapamiętanie terminu po angielsku.

A równość to stwierdzenie, że jakiś obiekt pojawia się w dwóch różnych zapisach, ale jest ten sam tu i tam. Na przykład, możesz powiedzieć o liczbach, że mamy równość liczb 7 i 21/3 – tutaj nie ma żadnych równań, warunków, żadnej selekcji obiektów spełniających jakieś wymogi.

Uff, zdaje się, że zdołałem uniknąć mówienia o relacji równoważności. Na szczęście. Często nawet pod koniec pierwszego roku studiów matematycznych ten i ów miewa z tym kłopoty. Czemu? Tak, to jest bardzo ciekawe pytanie.