Czy znasz rozważania, w których staranna analiza wielu dokumentów z Sieci pozwala na naukowe wyciągnięcie wniosków o społeczeństwie? Ciesz się, tu niczego takiego nie będzie, bo zastanawiając się nad jednym jedynym wpisem Romana J. wyciągnę nienaukowe wnioski i jest spora szansa, że się ze mną zgodzisz mimo braku przypisów i socjologicznych analiz.

Chodzi mi o to, że jego wpis sprzed 32 miesięcy Jak Obliczyć Pierwiastek Siłą Woli i Ołówkiem miał parę tysięcy czytelników.

Oj, trzeba szybko wyjaśnić skąd mam taką szpiegowską wiedzę o czytelnikach jego blogu. A zamieściłem tam komentarz i ilość wizyt, które przysporzyło to memu blogowi pozwala mi na takie supozycje.

No i w czym rzecz? Ano, Roman, technicznie wykształcony, miał na studiach sproro nieelementarnej matematyki, ale nie jest matematykiem. Przygotowując ów wpis działał jako amator, którego pewne zjawisko matematyczne zaciekawiło i chciał przekazać innym swój moment fascynacji. I zdołał to uczynić.

W jego wpisie nie ma obietnic, że opanowanie przedstawionego tam algorytmu przyniesie podwyżkę pensji, lepsze naszkicowanie trajektorii budowanej w domu rakiety czy ogólny rozwój mentalny, przynoszący harmonię w rodzinie. Po prostu opowiedział o czymś, co miał za ciekawe zjawisko. A jego czytelnicy z pewnością nie kierowali się względami użytkowymi, bo szybciej wyciągaliby pierwiastek otwierając swoje kalkulatorki i wypełniając taki przepis na niemyślenie: „liczba klik pierwiastek klik”.

Przed laty, gdy można było klikać się tylko w czoło, bo kalkulatory nie istniały, owa technika była przymusowa i dzieci cierpiały przez nią. Nie ma danych porównujących ilość ofiar kokluszu i wyciągania pierwiastka w owych czasach, ale nie wykluczam, że były przypadki samobójstw. Podręczniki z ową techniką gruntownie szlag trafił i sztuka wyciągania pierwiastka siłą woli ujawniła swoją zasadniczą cechę: jest Sztuką.

Kto wie, może eliminacja 90% zawartości programów szkolnych matematyki przyniosłaby renesans zainteresowania Sztuką Zależności i Regularności w Pozornie Chaotocznym Świecie. A blogi propagujące niebanalne wzory wyparłyby nudną i sprowadzalną do 15 zasadniczych schematów pornografię. Oczywiście, przy wprowadzeniu pewnych obostrzeń we wstępie do Blogów Matematycznych – pamiętasz historię jak to Tom Sawyer musiał pomalować płot dla cioci?

Może zastanawiasz się co mi znienacka odbiło w środku lata, by przypominać wpis o tym algorytmie. Cóż, mamy w Brazylii bardzo deszczowy styczeń. Czy to ma związek z pierwiastkami? Kto wie... A poza tym przeczytałem niedawno artykuł o starożytnym pomyśle, który autor nazywa „grecką drabiną”. Dziwna drabina gdzie co drugi szczebel prowadzi do góry, a pozostałe – na dół. Ale niech mu będzie. Ta drabina, czyli sposób obliczania √2, to klasyk, nawet u B. Russella w jego historii filozofii siedzi.

Oto ten pomysł: zacznij od pary liczb (1,1). Rób z niej następną (a potem kolejną itd) używając zasady

parę (a b) zastąp parą (a+b 2a+b) .

Kolejne ilorazy b/a będą tworzyły przybliżenia liczby √2.

Nie powiem tu nic o związku tych przybliżeń z „ciągłymi ułamkami” i konsekwencjami zapisania prostego wyrażenia x²=2 najpierw w postaci (x-1)(x+1)=1, potem jako x=1+(1+x)^-1, a potem zwariowanego pomysłu wstawiana iksa skomplikowanego w miejscu iksa prostego. Nie powiem, bo to jest dobrze opisane w wielu miejscach, a chyba wiesz, że unikam tłumu. Ale powiem, że ten artykuł, który wspomniałem, to zapis wykładu Roberta J. Wisnera z zeszłego roku i że w pokazuje on tam czemu (b/a)² jest coraz bliższe liczby 2 – to tak proste, że rzuciwszy tam okiem to zrozumiesz – ale najciekawsze jest, że wpadł na pomysł lekkiej modyfikacji tej drabiny.

Przedtem powiem, że mógł to wymyślić młody czy stary, zawodowiec czy laik, ssak czy płaz, takie to proste. Jak raz wymyślił zawodowiec, bo Wisner był profesorem matematyki na uniwersytecie w Nowym Meksyku, niemłody, bo ma teraz koło 85 lat a wydaje się, że pomysł mu wpadł do głowy gdzieś 10 lat temu (więc i wtedy nie był młody), ale każdy mógł to zrobić. Może nie każdy mógł sprawdzić poprawność pomysłu, ale każdy mógł z tym eksperymentować (to jest wytworny synonim czasownika „bawić się”).

Pomysł polega na tym, żeby liczbę 2 zastąpić większą liczbą naturalną k. To znaczy, znowu zacznij od pary (1 1). A potem

parę (a b) zastąp parą (a+b ka+b) .

Kolejne ilorazy b/a będą tworzyły przybliżenia liczby √k.

Oj, dla dużych k zadanie nie jest dla mężczyzn, bo wymaga sporo cierpliwości. Ciąg ilorazów przybliża się powolutku do √k...