Plutarch? Tak, był taki. Kiedyś go musiano czytać. Żywoty słynnych mężów. Może i do teraz czytać muszą na historii i filozofii. Ale kto go czyta z dobrej i nieprzymuszonej woli? Chyba nie matematycy.

I dlatego tak długo potrwało, nim u niego dostrzeżono liczby Schrödera. Jak one weszły do IX tomu Moralii Plutarcha jeśli Friedrich Schröder je wymyślił w 1870 roku? Zapewne popełnił plagiat z wyprzedzeniem 18 wieków. Ale zauważono to całkiem niedawno.

Co liczą liczby Schrödera, łatwo je znajdziesz w Wikipedii (np. w angielskiej: Schröder numbers), ale geometryczne skojarzenia i warianty to nowinki z ostatniego wieku. Oryginalnie chodziło o to: masz ciąg n znaków, na ile sposobów możesz tam nawstawiać pary nawiasów? I okazało się, że kto umie liczyć liczby Catalana (może na początek weź trójkąt Pascala) to radzi sobie i z liczbami Schrödera.

A Plutarch tak pisał:

Chrysyppus mówi, że ilość złożonych zdań, które mogą być utworzone jedynie z dziesięciu prostych stwierdzeń przekracza milion. Hipparch zaprzeczył temu pokazując, że złożonych zdań twierdzących jest 103.049, a zaprzeczających 310.952.

Sam wymiar tych liczb (pamiętasz, że Grekom notacja dziesiętna liczb ani się nie śniła?) zaskakuje. Ale największe zaskoczenie pojawiło się w 1994 roku gdy mający wówczas 45 lat student matematyki David Hough (zabrał się za matematykę dwa lata wcześniej) odkrył, że pierwsza z liczb podanych przez Plutarcha to s(10), dziesiąta liczba Schrödera. Czyli Hipparch jakoś wymyślił sposób uporządkowania zgrupowań 10 zdań (bez zmian kolejności), czyli ustawiania między nimi „nawiasów” i jakoś doliczył się ile tego było.

Pisał o tym w 1997 roku w American Math. Monthly Richard P.Stanley (104, str.344-350).

Co do drugiej liczby, najsensowniejsza wysunięta hipoteza to ta, że Hipparch pomylił się o 2, bowiem suma s(10) i s(11) to podwojenie liczby 310.954. Skąd tu bierze się s(11), czyli jedenaście symboli zamiast dziesięciu? Zapewne chodziło o dodatkowe słowo „nie”, zaprzeczenie. A dlaczego to miała być średnia z tych dwóch liczb? Ha, bywają takie rzeczy, że człowiek nie bardzo wie jak się za to zabrać. Ale Alexandre Borovik w artykule Coxeter Theory: The Cognitive Aspects pokazuje coś, co może i jest prawdą.

No, tośmy sobie poczytali Plutarcha.