Początek będzie naiwnie prosty: cztery miejsca umieszczone w narożnikach kwadratu symbolizują cztery miasta, które należy połączyć siecią kolejową. Jak to zrobić najekonomiczniej?

Gdyby nie chodziło o kwadrat a o jakikolwiek trójkąt bez przesadnie dużych kątów (przesada zaczyna się przy 120°) to poprosiłbym o zajrzenie tutaj, stoi gotowiec z wszelkimi szczegółami i czeka na zainteresowanych. A historia jego ma dokładnie 350 lat i rzecz dotyczy „punktu Fermata”. Ale z kwadratem trochę prościej to wygląda, przynajmniej na oko:

Powiedzmy, że bok kwadratu to 1, więc widać, że sieci zbudowane na wzór liter Z, U oraz X mierzą 2+√2, 3 oraz 2·√2.

Zaraz, co to znaczy „najekonomiczniej”? Gdyby dwa miasta z wierzchołków po lewej stronie były położone dużo wyżej niż dwa inne miasta, budowa wedle litery U mogłaby być tańsza, konstrukcje w górach nie są łatwe. A gdyby różnica wysokości była znaczna, najkrótsza droga z góry do dołu mogłaby być niewskazana i budowa wedle obróconej litery Z (czyli wedle N) byłaby sensowniejsza. Więc „najkrótsze” niekoniecznie znaczy „najlepsze”. No, ale powiedzmy, że wszystko jest płaskie jak Ziemia i chodzi naprawdę o zmniejszenie długości torów. Może jakaś „rozlazła” litera w stylu X będzie lepsza?

Będzie. Troszeczkę rachunku z trójkątami a potem proste użycie rachunku pochodnych (nie znasz? Nie martw się, uwierz na słowo) pokaże, że gdyby użyć trójkątów równobocznych z wierzchołkami w owych miastach:

to ujawni się kształt najlepszej sieci

Jak nazwać taką „literkę”? Może „〉–〈”? Otóż okazuje się, że sieć na planie litery 〉–〈 mierzy √3+1, co jest lepsze o 3,5% od X. Mało? Kto płaci za budowę uzna, że to niemało.

Poważna matematyka, która stąd wyrasta jest bardzo rozrośnięta. Uwaga o tym, że X nie jest najlepsze, pochodzi od Jakoba Steinera i zrodziła się mniej-więcej 180 lat temu, ale tak to pouogólniano, że dziś „Steiner minimal trees” to poważny temat studiów. Tak powikłany, że w pracy doktorskiej z zeszłego roku matematyka z Południowej Afryki o imieniu Pieter Oloff de Wet widzę, że znalazł dziurę w dowodzie dość ważnego w tej teorii twierdzenia, opublikowanego w 1992 r. Czyli błędy mistrzów to nie jest sprawa zamierzchłej przeszłości.

Ale są możliwe inne zabawy wokół tych literek Z, U, X, 〉–〈, które chcę zaproponować osobom o rozwiniętym poczuciu sprawiedliwości. Otóż dla czterech miast mamy ich sześć par i tylko w przypadku X dla wszystkich par odległość jest ta sama, √2. W innych przypadkach...

No właśnie, o jaką sprawiedliwość chodzi, o średnią czy o mściwą? Mściwa to taka, która nisko ceni duży iloraz między największą i najmniejszą odległością. A średnia to biorąca coś, co na ogół w ogóle nie istnieje, czyli „średnią” odległość między parami – czyli należy dla każdej z liter zsumować wszystkie odległości, wynik podzielić przez 6 i wtedy orzec, że średnio rzecz biorąc plan wedle pewnej litery jest sprawiedliwy. Która litera niesie w sobie sprawiedliwość? Miłej zabawy.