Czemu na mojej witrynie jest to ćwiczenie po angielsku i portugalsku, a nie ma go po polsku? Ach, tak, wstawiłem je 10 lat temu a wtedy mój kontakt z polskim Internetem był nikły. Chyba tylko linuksowa lista dyskusyjna. No to poprawię dziś to zaniedbanie.

Peter Hilton mówił na wykładzie o teorii grup: każdy algebraik ma zawsze grupę S₃ w kieszeni, żeby testować hipotezy. Na przykład: „jeśli dzielnik normalny i grupa ilorazowa są nilpotentne, to grupa też” – S₃ natychmiast okazuje się kontrprzykładem.

Z sympatii dla tej grupy skupiłem jej dziesięć opisów i ćwiczonko mówi: pokaż, że to wszystko jest to samo. Oczywiście w teorii grup „to samo” znaczy „grupy są izomorficzne”.

Opisy są podane dwa razy, najpierw w ludzkim języku a potem w notacji przyjętej w tej teorii.

1. Permutacje trzyelementowego zbioru.
–– S₃

2. Symetrie trójkąta równobocznego.
–– D₃

3. Najmniejsza możliwa grupa nieabelowa.

4. Macierze 2×2 otrzymane z dwóch mających „podobny” wygląd.
––

5. Automorfizmy grupy Kleina.
–– Aut(Z₂×Z₂)

6. Jej własne automorfizmy.
–– Aut(S₃)

7. Funkcje otrzymane ze składania dwóch homografii.
–– gp{f(x)=1/(1-x) , g(x)=1/x}

8. Funkcje z C w C otrzymane z pewnego obrotu i z odbicia.
–– gp{u(z)=e^i2π/3·z , v(z)=conj(z)}

9. Wszystkie odwracalne macierze 2×2 nad ciałem {0,1}.
–– GL(2;F₂)

10. Grupa z prezentacją z 2 generatorów i 3 relacji.
–– (a,b ; a³,b²,(ab)²)

PS. Czytelniku nie lubiący teorii grup, spoko. Ja tak tylko wyjątkowo, dla odprężenia. Wiesz, sobota.

PS2. Przyszło mi do głowy, że dla uniknięcia oklepanego zamykania listy na liczbie 10 dobrze by było dodać inną ładną charakteryzację tej grupy:

11. Rozszerzenie przez autormorfizmy (czyli holomorf) grupy Z₃.
–– Hol(Z₃)