http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html Domowe doświadczenia przekonują, że łatwiej jest zagmatwać niż rozplątać, skomplikować niż uprościć, zabrudzić niż oczyścić. Wyciąga się stąd niekiedy wniosek, że w praktyce dydaktycznej nie należy gmatwać, komplikować i brudzić, bo są to sztuki niższej klasy &#8211; i całą energię należy skierować w odwrotnym kierunku. Jest to pogląd bardzo podobny do wyznawanej w szkolnictwie teorii, że należy trafiać, mówić mądrze i mieć rację, a nie błądzić, mówić od rzeczy i widzieć swe tezy odrzucone. Przypuszczam, że powodem przyjęcia jednego zespołu przekonań i odrzucenia innego jest nieporozumienie związane ze słowem &#8222;nauka&#8221;. Wiele osób wymawiając je (w stosownie godnej pozycji i z krawatem lub nałożywszy szpilki) myśli o postępie, użytkach i technologiach. A skoro nauka to jest coś z dużej litery, to taka też musi być dydaktyka czyli opowiadanie o sukcesach nauki. Mniejsza o to. Pokomplikujmy sobie trochę dla zabawy, bez filozoficznego podkładu. Jak nas policja naukowa złapie to zapłacimy grzywnę. W pierwszym podejściu będzie matematyka, później (ale nie dziś) będzie język polski. Ładnym zwieńczeniem dość elementarnego programu geometrii analitycznej może być opowiedzenie o stożkowych, jak to one wszystkie, pojawiające się przy krojeniu stożka nożem czyli płaszczyzną, mają podobne równania: dwie zmienne, wielomiany drugiego stopia przyrównane do zera. O, na przykład parabola, jak łatwo i zgrabnie dostaje się jej równanie . Ale większości uczniów mina by zrzedła gdyby trzeba było znaleźć równanie &#8222;źle położonej&#8221; paraboli, mającej za swą kierownicę prostą o równaniu y=5x+2 , a ognisko położone w punkcie ze współrzędnymi (4,-1) . No dobrze, nie będziemy wdawali się w sadystyczne zastosowania twierdzenia Pitagorasa, pomyślmy o czymś prostszym. Biorę dwie proste, oto ich równania: y=x+1 ; y=-2x+3 . Przepisuję je w postaci x-y+1=0 oraz 2x+y-3=0 . Mnożę ze sobą lewe i prawe strony równań i dostaję 2x&#178;-y&#178;-xy-x+4y-3=0 . Okropne, ale wiem skąd to się wzięło, więc wiem jaki obiekt na płaszczyźnie wyznacza ono. Ale ktoś, kto wszedł w tej chwili i nie wie co tu wcześniej się działo, skąd ma wiedzieć co to jest? Czy nauczywszy się nieco teorii potrafi od razu postawić hipotezę co to może być? No i widać, że warto wdać się w studium ogólnego przypadku, by umieć rozpoznać &#8222;uczciwe stożkowe&#8221; od łże-stożkowych, które mają podobne równania i są tworzone przez wypaczone umysły nie szanujące zasady unikania wszystkiego, co jest dziwne i nie omawiane w dobrych podręcznikach. A najśmieszniejsze jest to, że czasami uczniowie czy studenci sami z siebie wprowadzają dodatkowe komplikacje, wykazujące jak płytko osadzone są różne szkolne pojęcia i jak łatwo wprowadzają zamieszanie do uczciwych młodzieńczych głów. Otóż znajdzie się ktoś, kto zechce uprościć sobie pracę i przemnoży stronami podane równania w ich pierwotnej postaci &#8211; i dostanie takie równanie: 2x&#178;+y&#178;-x-3=0 . Popracuje trochę nad nim i odkryje, że to równanie elipsy mającej środek w punkcie (1/4,0) , dłuższą (pionową) oś długości 5&#8730;2/2 , a krótszą mierzącą 5/2 . Skąd tu elipsa? I okaże się, że geometria jest na jednej lekcji, rachunek zdań (z alternatywami) na innej i nie ma mostu między lekcjami, więc wszystko sobie wesoło hasa w głowie jako niezależna i zbędna wiedza. Którą to obserwację dedykuję pfg w nadziei, że go przekonam przy pomocy paru przykładów, że jednak nie fizyka a matematyka jest najbardziej bezsensownie nauczana w szkole. Wed, 10 Mar 2010 22:06:35 +0100 http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7963272 Zacny <b>Propp</b>, jeśli dziwisz się, to może będzie z czytania tego jakiś pożytek. Ale jeśli wejdziesz tu z przekonaniem, że równania są po to, żeby je rozwiązywano, to marnujesz swój czas. Chyba nie przekonasz mnie, że jeśli mam jakiś zamiar, <i>to trzeba było napisać to</i>, teksty wychodzące poza przedszkole są zabawą na dwie osoby, jedna myśli i pisze, druga czyta i myśli. <br/> <br/>Przeczytaj, proszę, jeszcze raz, ale uważnie i zastanawiając się to co piszę o twierdzeniach kończących kurs geometrii analitycznej. Mówię jasno, że ćwiczy się sztukę dekodyfikowania tworów opisanych równaniami, ale trochę ćwiczeń w kodyfikowaniu pokazuje, że formalnie takie same równania (wielomianowe drugiego stopnia z dwoma niewiadomymi) mogą równie dobrze opisywać "prawdziwe" stożkowe <br/>(np. hiperbola czy elipsa) jak i "złudy" (podwójne równanie tej samej prostej, dwie proste równoległe, punkt, itp). Wymnażanie równań liniowych prowadzi właśnie do kodyfikacji. I wskazuję tu, że jest w tej technice delikatny moment, że zależnie od tego <i>jakie</i> równania wymnoży się stronami, można dostać bardzo odmienne twory - w umieszczonym przykładzie zamiast dwóch prostych dostaje się elipsę. <br/> <br/> Przypuszczam, że Twój protest pochodzi z nastawienia utrwalonego przez szkołę, że mamy coś danego (np owe równanie wielomianowe drugiego stopnia) i za pomocą jakiegoś twierdzenia klasyfikacyjnego odkrywamy co ono przedstawia geometrycznie. Mam taką metodę w niskim poważaniu i jej właśnie przypisuję część odpowiedzialności, że matematyka jest widziana jako sztuka manipulacji symbolami a nie modelowania świata. http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7963272 Wed, 10 Mar 2010 22:06:35 +0100 http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7960813 Czytam i się dziwię. Jaki jest cel wzięcia dwóch równań, a potem jeszcze się pomnożenie ich przez siebie? Jeżeli celem było znalezienie rozwiązania, to trzeba było napisać to. Inaczej tekst nawet nie jest zagmatwany, ale bezsensowny :) <br/> http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7960813 Wed, 10 Mar 2010 13:46:43 +0100 http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7254508 No, nie "albo...albo..." tylko "lub". <br/> <br/>A z ta interpunkcją bez przerwy mam przeprawy i przeboje. Jak wiesz, przecinek w notacji probabilistycznej (i nie tylko) oznacza "oraz", czyli "and" (kto w polskim wymyślił "i" - tak że to w tekście może sie zdarzyć przypadkiem, byle mucha jaka nasr**a!). <br/> <br/>"and" - to nie skrót od "andsol", tylko "i" po angielsku. <br/> <br/>Tak to się jakoś wpoiło od młodu, że człowiek zapomina, że nie każdemu tak oczywiste. No - bo nie ma zapisu w konstytucji, że przecinek znaczy "and". <br/> <br/>Aż dziw, że poloniści (czy inni -iści) nie zacukali się nad tym ... "<i>idąc, kłaniał się damom, starcom i młodzieży</i>" - czy komuś Podkomorzy się nie kłaniał, czy wszystkim się kłaniał? <br/> <br/>Angielski ten problem rozwiązuje, kładąc przecinek przed "and". Czytając zdanie - od przeszłości w przyszłość (czyli od lewej ku prawej) - zajrzawszy w przyszłość - i cofając się do pierwszego przecinka, zgadujemy, że on oznacza "and". <br/> <br/>Podobne proroctwa trzeba uprawiać względem "lub". <br/> <br/>Wygląda to na totalną bzdurę - że też ten tichy nie ma o czym pisać, tylko o jakimś głupim przecinku, gdy tyle ciekawych rzeczy się dzieje naokół, a pol-media i pol-blogi aż kipią. <br/> <br/>E, niech se kipią. Pokipi, pokipi, i się wykipi, albo nie. A przecinek wciąż jest, i zawsze będzie, i coraz to nowym generacjom będzie mylił i mieszał. <br/> <br/> A średnik - że ho-ho! http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7254508 Fri, 9 Oct 2009 04:37:22 +0200 http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7254475 A już się bałem, <b>tichy</b>, że nikt tego nie czyta. <br/> <br/>Na Twoje pierwsze pytanie odpowiedź brzmi: nie, nie pogmatwałeś, bo jednak trzy czwarte wyjaśniłeś. Bo jak <b>a&times;b=0&times;0</b> to niewątpliwie albo <b>a=0</b> albo <b>b=0</b>. A jeśli <b>a&times;b=c&times;d</b> to jeden czort wie czym jest <b>a</b>. W kwestii czytania wzorów, przy pewnej dorosłości zaczyna się wymaganie, by były pisane one tak starannie i jasno jak każde inne zdania w jakimkolwiek "naturalnym" języku. Młodzi zapaleńcy strzykają wzorami między zębami i myślą, że ich (wzorów) mądrość broni je przed wilkołakami z językowych topielisk. <br/> <br/>Co do ujemnej masy to myślałem, że nie ujrzę niczego piękniejszego niż ujemna prędkość, a tu taka siurpryza... Ujemną prędkość oczywiście znasz? Jak jedziesz z Warszawy do Gdyni z prędkością x, to powrót w tym samym rytmie jest opisany prędkością -x! To prawie tak dobre jak suma temperatur gwiazd, o której pisał kiedyś Feynman. <br/> http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7254475 Fri, 9 Oct 2009 02:22:21 +0200 http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7254467 Żeby nie było abstrakcyjnie... Pewien mój kontakt (astronom amator) zapytał mnie, dlaczego mu wychodzi masa ujemna księżyca, gdy wstawia masę gwiazdy, masę planety do tzw. <i>uogólnionego wzoru Keplera</i>. Zapytawszy, co to za słońce, co to za planeta -- okazało się, że to te z tych niedawno odkrytych, hań daleko. <br/> <br/>Więc w pierwszym odruchu wysmiałem astronomię, jako naukę nieścisłą, bo te dane o masach i periodach dotyczą obiektów tak dalekich, że te oszacowania przypominają raczej wysysanie z palca. <br/> <br/>Ale potem mnie tknęło - jakiś wzór ujmujący jednocześnie masę gwiazdy, planety, i jej księzyca? Problem trzech ciał rozwiązany, gdy spałem? Zajrzałem do wikipedii, a tam uogólniony wzór Keplera wciąż ujmuje masy dwóch ciał. Nawet w polskiej wikipedii. <br/> <br/>Więc skąd trzy masy? <br/> <br/>Nie mogłem przez to spać, więc dzwonię do kontaktu - i pytam skąd ten wzór z trzema masami wytrzasnął. Jak to skąd? Z podręcznika do astronomii dla drugiej klasy liceum. A także, ten sam wzór występuje w akademickim podreczniku do astronomii autorstwa słynnego profesora astronomii. <br/> <br/>Ano, podobno (nie dam głowy, bo nie widziałem, i trudno mi w to uwierzyć), owi utytułowani autorzy w następujący sposób rozwiązują problem trzech ciał. <br/> <br/>No, jest wzór na dwa ciała - gwiazdę i planetę. Jest obok wzór (ten sam) na dwa ciała - na planetę i księżyc. <br/> <br/>Akurat dzieli się te wzory stronami - i bum, zagadnienie trzech ciał rozwiązane. <br/> <br/> Ma ktoś pod ręką podręcznik (sama nazwa wskazuje, że ktoś powienien mieć) do astronomii dla drugiej klasy liceum? http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7254467 Fri, 9 Oct 2009 01:49:13 +0200 http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7254461 Jak się czyta średnik ";" ? Sugestia: jako "oraz", czyli "i". <br/> <br/>To wtedy, gdy po obu stron równań sa niezerowe wyrażenia. <br/> <br/>A jak po jednej - <b>tej samej</b> - stronie jest 0, to wtedy średnik czyta się jako "lub" albo "bądź" bądź "albo". <br/> <br/>Tej lekcji zaznałem dopiero po angielsku gdy - gdzieś w jakimś poradniku - przeczytałem, że "wzór" matematyczny powinien być tak napisany, tak skonstruowany, tak przedstawiony - by można by go było przeczytać jako "<i>proper English sentence</i>". Może to była rada napisana przez Polya? Może przez Erdos'a? <br/> <br/>Dodałoby to wagi, bo jak anonim - to kto się przejmie? <br/> <br/>W każdym razie, nigdy wcześniej takiej rady nie słyszałem ani nie widziałem. Nikt mi nie mówił, że wzór powinien być dobrym zdaniem po polsku. <br/> <br/>Dlaczego o tym piszę? Bo doznałem konfuzji (na szczęście, obyło się bez kontuzji). Inaczej - zacukało mnie - choć przez chwilę (uczciwie przyznaję się - pzrez dobrą chwilę). Bo niby dlaczego nie można sobie wymnażać równań? <br/> <br/>Po kilku próbach doszedłem do wniosku, że owszem można, ale to nie znaczy, ze trzeba. <br/> <br/>A wszytsko stąd, że nie wiadomo z góry, co średnik znaczy. Czy "i" - wtedy mamy do czynienia z układem równań - geometrycznie, poza niczym, byłby to punkt lub prosta (w danym przypadku - punkt). Czy też "lub" - wtedy byłby to - w danym przypadku - tzw. <i> krzyż św. Andrzeja </i> (podobieństwo do osób lub sytuacji rzeczywistych lub wymyślonych czysto przypadkowe). <br/> <br/>Wymnażając - egzekwujemy "i" (chyba, że mamy 0 po jednej stronie, po przerzuceniu wszystkiego na drugą - wtedy egzekwujemy "lub"). I dostajemy trywiał - pewien punkt leży w pewnej figurze. <br/> <br/>Gdy z 0 po jednej stronie, "lub" było i przed wymnożeniem, "lub" jest po wymnożeniu. Rzecz (ów krzyż św. Andrzeja) jest wciąż i wciąż, tam i z powrotem - jest niezmiennikiem. <br/> <br/>Dlatego - zgaduję - używa się go jako znaku ostrzegającego na przejazdach kolejowych. <br/> <br/> PS. Dobrze oddałem tytuł notki? http://andsol.blox.pl/2009/10/Sztuka-gmatwania.html#k7254461 Fri, 9 Oct 2009 01:27:06 +0200