Dzień dobry. Czy mogę?

Na części, na której nie siedzę – czemu nie?.

Nie zamierzam cię rozpłaszczyć. Chcę po prostu pogadać z kimś. Dzień jest taki miły. Mam na imię Lidka.

Wierzę.

Wiesz, ale ja nie wierzę! Skąd tyle sympatii?

Nie lubię jak mi przerywają pracę.

Ale przysiadłam się, bo widziałam, że się wpatrywałeś w to drzewo. Jesteś biologiem?

Matematykiem. Jakie drzewo? Ach, to... Nie widziałem go. Wyobrażałem sobie, że tu jest morze.

Morze? Czemu właśnie morze?

Nie wiem. Może dlatego, że wtedy się skupiam. I ma dużą powierzchnię, można pisać na nim wiele rzeczy.

Pisać na morzu?

Nie. Na płaszczyźnie, którą sobie wyobrażam.

Ach, przygotowujesz lekcje...

Nie.

Co za skomplikowany człowiek. Ostatnia próba kontaktu między cywilizacjami. Powiesz jak masz na imię?

Powiem. Leszek.

Leszku, miałam dobrą intuicję.

Intuicja ci mówiła, że jestem Leszek?

Moja intuicja nie jest głośnikiem, nie mówi do mnie. Ona sprawiła, że się zatrzymałam przy twojej ławce. Bo właśnie chcę spotkać matematyka.

Równanie kwadratowe dla córki?

Nie musisz rozmawiać ze mną jakbym wyglądała na blondynkę.

Przecież jesteś blondynką.

O, cud! Zauważyłeś mnie! Tak, wyglądam na blondynkę, jestem blondynką i radzę sobie z materiałem szkolnym. A nawet z testem chi kwadrat, bo go używałam do znudzenia w pracy magisterskiej. Socjologia.

A ja nigdy nie używałem chi kwadrat i jak słyszę chi to mnie już boli.

Chi, chi, chi... Słuchaj, mam problem. Siostrzenica znalazła w Internecie aksjomaty Peano. A że w rodzinie jestem jedyną, która odróżnia parabolę od hiperboli, przyszła do mnie, żebym wyjaśniła czemu tyle dziwnego gadania o tak prostej sprawie jak liczby naturalne.

Może dlatego, że to nie jest prosta sprawa?

A co jest skomplikowanego w jeden dwa trzy i tak dalej?

I tak dalej.

Zwrot „i tak dalej”? Czy będzie lepiej jak to zapiszę trzykropkiem?

Chyba będzie krócej ale gorzej. A jak będziesz czytała te trzy kropki?

I tak dalej.

No to nie będzie gorzej. Słuchaj, osiemnaście, czterdzieści, dwieście i tak dalej. Co mam na myśli gdy mówię „i tak dalej”?

No nie wiem skąd wziąłeś te liczby.

Z pamięci. A ty skąd wzięłaś twoje jeden dwa trzy?

Myślałam, że mi coś wyjaśnisz, a ty mi zaciemniasz. Nie chcesz mi pomóc?

Jak dotychczas nikt mnie nie prosił o pomoc.

Przecież powiedziałam, że mam problem!

A kto nie ma. Ale to była deklaracja, a nie prośba o pomoc. Ja na przykład mogę oświadczyć, że mam wątrobę, ale to wcale nie znaczy, że chcę, żeby ktoś coś z nią robił.

Nie umiesz czytać gestów. Gdy blondynka patrzy na ciebie pytająco i mówi, że ma problem z aksjomatami Peano, to znaczy, że oczekuje pomocy.

Nie wpadło mi to do głowy. Dobrze, pomogę ci. Czy rozumiesz czemu nie rozumiem trzykropka?

Chyba robisz to na złość, przecież po „jeden dwa trzy” każde dziecko rozumie co znaczy „i tak dalej”.

Umówmy się, że jestem dzieckiem i ty mnie pytasz co znaczy „i tak dalej”.

Leszku, jeśli mówię jeden dwa trzy to co znaczy „i tak dalej”?

Chyba znaczy jeden dwa trzy jeden dwa trzy jeden dwa trzy i tańczymy walca.

Och.

Ale wolę raz dwa trzy raz dwa trzy.

Przecież żadne dziecko nie pomyśli o walcu kiedy mówię o liczeniu.

Jestem dzieckiem i właśnie pomyślałom.

No dobrze, chyba jest jakiś prosty sposób, żeby powiedzieć: „idziemy dalej, bez powtórzeń”?

Owszem. Aksjomaty Peano.

Chwileczkę. Jeśli policzę do czterdziestu i powiem „i tak dalej”, ciągle będziesz miał wątpliwości o co chodzi?

Dużo więcej niż przedtem. Najpierw pomyślę, że może chodzi ci o liczenie sekund, czyli po sześćdziesiąt będzie jeden dwa trzy. A poza tym jak będzie tyle liczb, wprowadzisz jakiś zapis w stylu notacji dziesiętnej i wtedy dopiero sprawy się skomplikują.

Rozumiem. Więc muszę powiedzieć, że liczby nie wracają do początku?

Ani na bok, ani nie przeskakują i w ogóle zachowują się przyzwoicie. I musiałabyś zrobić mnóstwo zakazów, bo w matematyce jak coś nie jest zakazane, to wolno to robić. Łatwiej powiedzieć co wolno robić. Aksjomaty Peano. Przy okazji, te powroty nazywamy cyklami. Jak weźmiesz te aksjomaty, nie będzie cykli.

Rozumiem zakaz cykli, ale kto by chciał przeskakiwać?

Ja. Jak nie zabroniono, to dozwolono. Jeden dwa trzy dwadzieścia cztery dwadzieścia siedem.

A co to za wygłup?

Żaden wygłup. Wiek osób w rodzinie sąsiada.

Jeden dwa trzy? Biedna kobieta.

Wygląda na to, że przyznajesz, że przykład ma sens.

Więc chodzi o obronę przed możliwymi dziwactwami?

Dokładnie. Powiedz mi jakieś polskie słowo, które by najlepiej opisało zbiór liczb naturalnych.

Hmmm... poczekaj... kolejka?

Świetnie. Ktoś jest pierwszy i za nim nie ma dwóch osób, jest tylko jedna. Czyli następna. Weź cały lud stojący w kolejce, oznacz go w jakiś prosty sposób, na przykład N i powiedz, że masz określoną w N funkcję „kolejny”. Jeśli weźmiesz osobnika n, to k(n) jest kolejnym po n. Dlatego jest dobrze mówić o „funkcji”, bo od razu jest jasne, że ten k(n) też jest w N i jest jeden jedyny. Kolejka nie rozwidla się.

A skąd wiesz, że nie będzie cykli?

Jeszcze nie wiem. Ale kiedy powiem: „jest jeden element, który nie jest kolejny po nikim” zwykłego kółka (czyli zamkniętego cyklu) uniknąłem. Kolejka w formie litery O jest już wykluczona. Muszę jeszcze wykluczyć możliwość „wpadnięcia w kółko”, czegoś w formie litery Q czyli O z ogonkiem. Na przykład ciąg jeden dwa trzy cztery pięć trzy cztery pięć trzy cztery pięć byłby tego typu. Ale postanowię, że funkcja k jest różnowartościowa, dwa odmienne elementy nie mogą lądować na tym samym kolejnym. W ostatnim przykładzie dwa i pięć miały tę samą kolejną liczbę trzy. A teraz będzie to niemożliwe.