Od JK & AS, w prezencie
dla uczniów wracających dziś do szkół.

Dobra nowina dla wszystkich ofiar długich i nudnych przekształceń algebraicznych, nazywanych sadystycznie „tożsamościami trygonometrycznymi”. Otóż wykończyliśmy tę nudę celnym strzałem srebrną kulą i na wszelki wypadek pokryliśmy resztki tych flaków z olejem grubą warstwą czosnku. Bez czyjejś pomocy ta zmora nie podniesie się więcej.

Po drodze było kilka lat poprawek i gawęd z wydawcą pisma. Chwała i sława redakcji „The American Mathematical Monthly”, zaimponowali nam, czyli Jurkowi Kocikowi i mi, autorom artykułu, rzetelnością pracy redakcyjnej. Dwóch Polaków niby znających angielski, ale... No i ci ludzie pokazali, że nie tylko przeczytali wszystko do ostatniego przecinka, ale i mieli sporo sugestii jak coś poprawić. Nie zawsze im się to udało, bo bywamy uparci.

Tak czy inaczej, artykuł ukazał się w marcowym numerze rzeczonego pisma i zainteresowani mogą ściągnąć sobie jego kopię stąd. W artykule (w formacie pdf) jest linka do ćwiczeń, leżą one na internetowej stronie Jurka.

Nasz tytuł „Disentangling a Triangle” można by oddać po polsku jako „Rozmontowując trójkąt”.

W czym rzecz? Z definicji sinusa i kosinusa i paru szkiców odczytasz wiele zależności zwanych właśnie „tożsamościami trygonometrycznymi”. To jest geometria, nie rachunki, to można (i trzeba) widzieć.

Zacznij od narysowania „twierdzenia sinusów” Ptolemeusza – z jakichś dziwnych przyczyn przekazywanego w szkole w niestrawny sposób. A ono mówi po prostu: jeśli trójkąt jest wpisany w okrąg ze średnicą mierzącą 1, to miary boków są właśnie sinusami kątów. I popatrz – kosinusy też mają jasny sens jako długości odcinków (segmentów wysokości trójkąta):

Stąd (i z definicji funkcji) już będziesz wiedzieć jak wyglądają iloczyny takich odcinków:

a użycie poniższych uwag (podanych w geometrycznym języku):

pozwoli ci na wymyślenie sobie mnóstwa zależności między różnymi segmentami boków i wysokości. Popróbuj!

Czy to przydaje się też dla trójkątów rozwartokątnych? Ależ oczywiście! Ale nie warto przepisywać wszystkiego w jednym blogowym wpisie. Dużo lepiej jest zachęcić cię: wymyśl teraz to wszystko bez naszej pomocy.

Ale jeśli będziesz jej potrzebować, pojawimy się w stosownym momencie. Oczywiście ze wskazówkami i zachętami, bo nie należy podejrzewać, że jesteśmy wytwórcami kaszki manny. My jesteśmy Fearless Confusion Killers.