Słowa w ordynku. Słowa w ataku i w obronie. Pomieszane. Refrakcja słów w stali i w wodzie. Odbicia słowne i zwidy. Ład i gładkość. Spazmy i erupcje. Kojący wpływ soku z passion fruit. Od rzeczy i do rzeczy. Krótko mówiąc. Ostatnie słowo. Na początku był skowyt.
Blog > Komentarze do wpisu
Na ogólne życzenie publiczności

Przez publiczność rozumiemy byt zwany Jurgi a jego ogólne (bo jedyne) życzenie, wyrażone w komentarzu do mojej notki jest takie... Aha, przed wyjaśnieniem życzenia, pytanie: podobał ci się ten przyciężki styl dowcipu? To standard matematyczny. Życie matematyka by było dużo lżejsze, gdyby jego koleżanki i koledzy nie mieli takiego właśnie poczucia humoru. Wracając do kwestii, co do której Jurgi rzecze, że nie zna nikogo bardziej niż ja kompetentnego, zaręczam, że można by zapytać o to któregokolwiek matematyka na świecie i co drugi by dał taką odpowiedź jak ja, a ci nieliczni pozostali by dali odpowiedź odmienną. A że padło na mnie, to użyję zasady „naszie łuczszie” i objawię jedyną prawdziwą prawdę.

A więc, oto pytanie: co to jest reszta z dzielenia przez liczbę całkowitą? Bo w podanym tam linku ludzie zajmujący się informatyką ze zdumieniem stwierdzają, że nie ma standardowej definicji i każdy sobie robi jak chce.

No i dobrze. Tak właśnie powinno być. Matematyka to anarchia. Ty definiujesz co sobie chcesz, ja tylko sprawdzę czy twoja definicja ma sens. To znaczy, czy tak zdefiniowany zwierz w ogóle istnieje. Na przykład, nie ma co gadać o mlegutach, czyli kogutach dających mleko – i nie będziemy używali w matematyce terminu „zielonkawy”, bo co dla jednego jest zielonkawe, dla drugiego jest błękitnawe. A gdy coś sprawdziłem i myślę, że ma sens, to przyjmuję albo nie, zależnie od mego widzimisię. Jak moje widzimisię jest bardzo zbuntowane, to muszę robić moją własną, powiedzmy, Podkarpacką Szkołę Matematyki, ale może się zdarzyć, że wyłączając Podkarpacie wszyscy inni będą mieli moje definicje w nosie.

Więc kwestia nie w tym co jest poprawne czy co jest prawdziwe, ale którą z (wielu możliwych poprawnych) definicji przyjmiemy jako standard.

I trzeba zacząć od dzielenia przez 1. Wynik ma historię nazw nieźle pochrzanioną, nazywano to E(x) (od słowa „entier” czyli „całkowite”), potem I(x) (od „integer”, ale gorszego symbolu to i po pijanemu się nie wymyśli), aż wreszcie postanowiono nazwać to „floor x, „podłogą iksa”, z oznaczeniem ⌊x⌋.

Definicja: jeśli x to liczba rzeczywista, jej podłogą jest ta liczba całkowita, która jest równa x albo mniejsza od niego, ale odległa o mniej niż 1. I jeśli mam podłogę, łatwo definiuję „resztę iksa”:

r(x)=x - ⌊x⌋ .

W takiej definicji r(x) jest funkcją okresową (powtarza się co 1, czyli dla każdego x jest r(x+1)=r(x) i dwa wykresy są zgrabne i łatwe do zapamiętania:


Więc tutaj r(-√2) to nie 1-√2 ale 2-√2, a ⌊-√2⌋=-2.

Wygodna strona tego ujęcia: jeśli w liczbach rzeczywistych zastąpię 1 przez na przykład k=2π, albo z liczb rzeczywistych przejdę do liczb całkowitych i zastąpię 1 przez k (dodatnie), „podłoga” staje się ilorazem z dzielenia, a reszta (dodatnia) rk(x) jest łatwa do otrzymania ze „zwykłej” reszty: „ściskamy prostą k-krotnie (czyli dzielimy x przez k), liczymy resztę, mnożymy wynik przez k. Podobnie z „podłogą”, by stała się ilorazem. Chyba nietrudno jest to sobie uświadomić to ujawniając w definicji „niewidoczne” 1. Napiszmy poprzednie definicje tak:

zamiast   x=⌊x⌋+r(x)   pisz   x= 1·⌊(x/1)⌋ + 1·r(x/1)

– wtedy użycie liczby k staje się dość naturalne:

x= k·⌊(x/k)⌋ + k·r(x/k)

– ostatnia część to rk(x)= k·r(x/k) .

Jak ktoś lubi inaczej, jego prawo, każdemu wolno pić herbatę w wiszącej pozycji. Sprawa gustu.

wtorek, 15 września 2009, andsol-br

Polecane wpisy

  • Przenosiny

    Wszystkich moich czytelników zapraszam do odwiedzaniaMigotania słów w ich nowym lokalu , naWordpressie.Pierwszy, dzisiejszy (4 sierpnia 2016) wpis już tam stoi

  • Paskudna niespodzianka

    Z ostatniej chwili.Przy próbie komentowania na własnym blogu – a parę chwilpóźniej przy podobnej próbie dodania komentarza na blogu Kota Behemotha–

  • Żyć zgodnie z zasadami

    W domu leksykografa na obiad podają najpierw deser, potem sznycel, a nakoniec zupę.

TrackBack
TrackBack URL wpisu:
Komentarze
2009/09/15 03:07:35
Przydałoby się gdzieś w którymś momencie napisac wyraźnie, że dopuszcza się (a nawet zaprasza, bez strachu o nic) ujemne k.

Też, uwaga typograficzna: jeżeli nie lubi się oznaczenia l(x) na część całkowitą, to równie powinno się nie lubić oznaczenia r(x) na część ułamkową.

Bo paskuda słowna "reszta" zostaje przemycona.

W pewnych szkołach nie uznaje się żadnego sufitu, i jak się lubi [x], to się i lubi {x}=x-[x]. A jako kto potrzebuje sufitu, to pisze [x]+1.

Nie tak jak w budownictwie, gdzie musi być sufit, inaczej deszcz zaleje podłogę. Na osi liczbowej - jak w Kaliformi - żaden deszcz nie pada, i sufit jest zbędny. I nie trzeba wyślepiac i psuć sobie oczu, by zobaczyć, czy haczyk jest na dole czy na górze.

Reasumując. Pojęciem pierwotnym jest częśc całkowita ("podłoga") [x] - definicja lekka, łatwa, i przyjemna. Następnie, część ułamkowa, {x}=x-[x].

Inaczej, x=[x]+{x}. Chcemy dzielić? Proszę bardzo

x/k = [x/k] + {x/k}.

Wolisz inaczej? Proszę:

x=k [x/k] + k{r/k}.

Napisałem mniej więcej to samo. Widocznie wpływ Szkoły Podkarpackiej?

Skąd pochodzi konfuzja? Ze złego postawienia pytania - "jak przedstawić liczbę rzeczywistą jako sumę liczby całkowitej i ułamka" (ułamek - ostro między -1 a 1, prócz 0).

Źle postawione - bo odpowiedź niejednoznaczna.

Ponadto, niektóre programy, uważając że ułamki to zło, starają się to zło zminimalizować, i z dwóch złów (zieł?) wybierają to mniejsze! Ale mniejsze wg. wartości bezwględnej, czyli zawsze w stronę 0. Wtedy robi się jedna teoria i metoda dla liczb dpdatnich, i druga"symetryczna" - dla liczb ujemnych.

Symetria jest fajna, ale bez przesady.
-
2009/09/15 17:52:01
@Tichy: podzielam z Tobą niechęć do wprowadzania funkcji ceiling tylko dlatego, że na scenę weszła funkcja floor. Słowo "scena" nie weszło przypadkowo, lubię wyjaśnienie, że kręcimy film niskobudżetowy, zatrudniamy tylko niezbędnych artystów a nie tamtą panienkę, bo jest siostrzenicą dyrektora. Jak żyję nie potrzebowałem używać funkcji sufit, więc czemu mam ją komuś wtłamszać?

Z terminem "reszta" popieram Cię z pewnymi zastrzeżeniami. Tak, dobrze by było odwalić się od tej "reszty" (bo czemu "resztą pi" ma być 0,14... a nie 0,0015....?) ale czy symbol, który cytujesz jest rozpowszechniony? I bez tego mam skłonność do nadużywania nietypowych symboli i pamiętam, że czasami to się niedobrze kończy. Dla przykładu, jedną z najwspanialszych matematycznych monografii mam "Topological Geometry" (Ian Porteous), bo przebiega dziesiątki dziedzin i wchodzi głęboko w potrzeby fizyki - szybko dochodzi się do klasyfikacji algebr Clifforda - ale nie jest tak szeroko czytana jak powinna, bo jest nieczytelna. Bo na każdym centymetrze kwadratowym autor zasiał nietypowe oznaczenia. Więc masz rację, ale czy to jest naprawdę dobry symbol?...

Co do złów i zieł, opowiadam się za ziełami, ale oba są dobre :)

Co do pytania Skąd pochodzi konfuzja?, techniczną stronę problemu rozwiązujesz, ale zostaje jeszcze psychologiczna. Na jaką cholerę wdają się w jakieś *#$^% z nieużytecznymi definicjami? Moje podejrzenie: bo są ludzie, którzy piszą podręczniki matematyczne i to im przynosi kasę ale oni myślą, że ta kasa to jest jedyne zastosowanie matematyki.
-
Gość: Wiechu, *.internetdsl.tpnet.pl
2009/09/15 19:37:53
To zło, tych zeł , temu złu , wiele zła.
Nie wiem jak mówią w Warszawie?
Bo na Pragie, kochana nie mogie. Zmiennik na mnie czeka.
Wiechu.

-
2009/09/16 03:56:53
Tak, Tak, Wiechu - słusznie kpisz. Wiedziałem sam, gdy tylko co wcisnąłem "wyślij". Taka złośliwość, czemu nie tuz przed?

Wracając do tej nieszczęsnej reszty, tak mnie trochę to dręczy. Pominę notację i terminologię, to sprawa temperamentu i preferencji, walki przeciwieństw - między chęcią bycia spolegliwym a oryginalnym... Dla czytelnika w stylu konika polnego nie ma nic bardziej irytującego niż idiosynkratyczne defincje i symbole.

Pewien styl i konwencja zostały zaimprintowane za młodu - wtedy jakoś trudno uznac wyższość póżniejszych.

W dzisiejszych czasach - vox populi narzucający styl - niestety, w matematyce to olbrzymie stado informatyków i tzw. finansistów (wydaje się, że większośc wpsiów wikipedii są takiego autorstwa). Gdyby szło demokratycznie, prawdziwi matematycy przegraliby głosowanie z kretesem. Przy tym, sami mają wiele grzeszków semantycznych na sumieniiu.

Wracajac do dręczenia... Problem z resztą jest w problemem z cześcią ułamkową. Dośwaidczamy zderzenia języka i edukacji (która nas naucza pewnego systemu, wbija raczej młotkiem, co ma też dobre strony).

Mówisz, właśnie dziś jest 10-ta (np.) rocznica - z resztą - mego śłubu. Znaczy co? Rocznica będzie za kilka dni? Czy też była kilka dni temu, i zapomniałeś o niej? I ta reszta - oj - gwałtem się odciśnie.

Czymkolwiek operujemy, ten system liczbowy jest niezmienniczy względem pewnych operacji. No właśnie, jakich? Gdy translacji, wtedy lepiej się trzymać "do lewa". Gdy symetrii - lepiej "do zera".

Czyli, nie ma wyższości pierwszego nad drugim, ani dowolności - jak kto chce.

Niezmienniczość (ergo - wygoda) wymusza.
-
Gość: jaro3000, *.adsl.inetia.pl
2009/09/19 16:39:32
Filozofię pominę, ładnie ją przedstawiłeś na przykładzie Podkarpackiej Szkoły i mlegutów. Może z "istnieniem" troszkę przesadziłeś - niefortunne słowo, mamy przecież te okropne twierdzenia Gödla - no, ale w głębi duszy też byłem platonikiem jeśli chodzi o filozofię matematyki, jeszcze coś we mnie zostało.

W sprawie funkcji "sufit" - mi osobiście już nie raz zdarzyło się z niej korzystać - chociaż faktycznie, dużo rzadziej niż z "podłogi". Istotne jest to, że ceiling(x) wcale NIE JEST równy funkcji [x]+1, jak zasugerował 5-grid, dlatego warto definiować osobną funkcję.

W całym poście nigdzie nie jest wprost podana przez Ciebie definicja dzielenia całkowitego - oraz jakie wnioski z tej definicji wynikają.

Oznaczę więc "a div b" (na modłę Pascalowców) jako dzielenie całkowite liczb a/b - z resztą. "a mod b", to reszta z tego dzielenia.

będziemy naturalnie oczekiwali, że:

a = (a div b)*b + (a mod b). (*)

Ty definiujesz:
a div b = [a/b]
Wtedy: a mod b=a - [a/b]*b (korzystam z (*)).
Jeśli a oraz b są dodatnie wszystko jest oczywiste. Ta definicja zachowuje się też porządnie jeśli dzielimy (całkowicie) liczbę całkowitą ujemną przez liczbę całkowitą dodatnią:

-12 div 5 = -3, -12 mod 5=3 przy powyższej definicji. W skrócie dzielenie całkowite zdefiniowaliśmy w sposób bardzo naturalny - w ramach gratisu reszta jest liczbą dodatnią jeśli dzielimy przez liczbę dodatnią. To dobra wiadomość, wielu intuicyjnie oczekuje że reszta będzie liczbą dodatnią.

5-grid zaprasza, przy powyższej definicji, do dzielenia przez liczbę ujemną. Nie przeczę, że dopuszcza się to - natomiast ja osobiście nie robiłbym tego "bez strachu o nic". Warto podkreślić, że jeśli dzielimy przez liczbę ujemną przy powyższej definicji dzielenia całkowitego otrzymana "reszta" będzie liczbą ujemną! Przy niektórych zastosowaniach nie spodziewamy się tego, należy zwrócić na to szczególną uwagę.
Istotnie, przy powyższej definicji 12 div -5 = -3. Dalej 12 mod -5 = 12 - (-5*-3) = -3.

Część publiczności jednak krzyczy, że reszta jest liczbą nieujemną. Drugą próbę definicji dzielenia całkowitego z resztą podejmiemy przyjmując resztę za istotniejszy fragment - i definiując w ten sposób, aby nie była ujemna.

Nowe definicje wyglądałyby więc następująco:

a mod b to jedyna taka liczba x z przedziału [0, |b| ), że istnieje liczba całkowita c, która spełnia c*b + x = a.

Definiujemy więc resztę w ten sposób, aby zawsze była liczbą z przedziału [0, |b|).
Aby spełniona była (*)
a div b = a-(a mod b) / b.

(UWAGA: (a div b) tutaj to po prostu c z przykładu wyżej)

Istotne jest to, że przy dzieleniu przez liczbę dodatnią obie te definicje są równoważne. Zaletą drugiej podanej definicji jest to, że reszta zawsze jest liczbą dodatnią, często jest to bardzo przydatne. Oznacza to między innymi tyle, że przy tej definicji zawsze zachodzi:
a mod b = -a mod -b

Przy pierwszej definicji - i podanej nie wprost przez Ciebie - to niekoniecznie jest prawda. W definicji pierwszej dostawaliśmy w zamian za to analogiczną tożsamość a div b = -a div -b, której nie mamy tutaj.

Istotną zaletą pierwszej (Twojej) definicji jest natomiast to, że w sposób naturalny i przystępny definiujemy dzielenie całkowite - tutaj jest ono wykonane w jakiś okrężny sposób.

Ja osobiście preferuję Twoją definicje, natomiast chciałem pokazać, że ma ona też swoje wady.

Jeszcze jedno - wydaje mi się, że jak już przeczytaliśmy te długie wypociny możemy natychmiast przestać się tym przejmować. O ile użycie funkcji sufit zdarzyło mi się już kilka razy, o tyle NIGDY - podkreślam NIGDY nie miałem do tej pory okazji korzystać z dzielenia całkowitego z resztą przez liczbę ujemną. Owszem, dzielenie całkowite z resztą liczby ujemnej przez dodatnią zdarzyło mi się niejednokrotnie - w tym wypadku obie powyższe definicje są równoważne i w moim przekonaniu znacznie wygodniejsze niż pozostałe.

Pozdrawiam
jaro3000
-
2009/09/19 17:43:07
@jaro3000: na wstępie mam wielką prośbę, nie mów o swoim komentarzu długie wypociny, bo ... z pewnością czytałeś u Feynmana jak przestał uczyć się japońskiego? Mam to tylko po angielsku:

I took lessons from a Japanese man every day for an hour.

One day he was teaching me the word for "see." "All right," he said. "You want to say, 'May I see your garden?' What do you say?"

I made up a sentence with the word that I had just learned.

"No, no!" he said. "When you say to someone, 'Would you like to see my garden? you use the first 'see.' But when you want to see someone else's garden, you must use another 'see,' which is more polite."

"Would you like to glance at my lousy garden?" is essentially what you're saying in the first case, but when you want to look at the other fella's garden, you have to say something like, "May I observe your gorgeous garden?" ...


No i skomplikujemy sobie życie.

Że sufit to nie podłoga plus jeden to wiem, bo jednak parę razy w życiu go użyłem, ale nie chciałem być dla tichego niemiły because of my one lousy point.

Co do dzielenia przez liczbę ujemną, to rzecz jasna masz rację, że warto to bardzo dokładnie naświetlić, i z pewnością w jakimś tekście formalnym nie miałbym wyjścia, trochę linijek (np. te zerżnięte od Ciebie) musiałyby tam wejść, bo gdyby nie weszły to któryś z recenzentów zrobiłby z niego bezmięsnego Strogonowa i w dodatku zgodnie z prawem. A jak w praktycznym życiu sobie z tym radzę? Przy dzieleniu liczb rzeczywistych jeszcze mi się nie zdarzyło liczenie reszty z dzielenia przez ujemną i podchodziłbym do tego zgodnie z zasadą never trouble trouble till trouble troubles you. Np. dzielenie przez minus dwa pi, to chyba tylko zwyrodnialec albo ktoś, komu się kierunki pomieszały. A przy całkowitych problem by się nie pojawił, bo przez dekret eliminuję tę możliwość. Gdy mam już przyzwoicie zrobione Z czyli całkowite (klasy równoważności NxN z oczywistą relacją), wcale nie robię analogicznej konstrukcji z Q, czyli nie dzielę przez kolejną równoważność zbioru ZxZ, a zbiór ZxN* i mam spokój. Jak dotychczas nikt nie protestował :)

Dzięki za Twojej uzupełnienie, bo po uwadze tichego powinienem był jednak pokazać, że dzielenia przez ujemne wcale się nie boję, ale jakoś czasu na to nie stawało. A teraz to mam jak znalazł.
-
Gość: tkacz, *.neoplus.adsl.tpnet.pl
2009/09/21 23:22:06
Wy to robicie celowo? Mózg mi się zagotował... :
-
2009/09/21 23:40:31
@tkacz: bardzo się rumienię wyznając, że nie wiem o co Ci chodzi. Konflikt pokoleń czy starcie kultur? Pomożesz?
-
2009/09/22 17:24:06
Chodzi o te Wasze dialogi, cyferki, nawiasy i inne krzaczki, które mnie, zwykłego humanola, wprawiają w niejakie zakłopotanie, bo niby to język polski, ale jakiś taki niepolski :)
-
2009/09/22 18:02:06
@tkacz: ach tak, masz rację, język skondensowany tak, że łyżka w nim ani drgnie. Ale... chciałem coś powiedzieć o "humanolach", którzy decydują się na grę na fortepianie i opanowują wcale nieprosty język nut - tylko przedtem przypomniałem sobie jakieś zapisy prawie w alfabecie Morse'a, żeby policzyć stopy w poezji tego i tamtego. No przecież to piękny przykład łącznika między językami używanymi w literaturoznawstwie. Spróbuj zapisać stopy, intonację, warianty wymowy regionalnej i odnośniki do obocznych znaczeń - i wyprodukujesz zapis jeszcze bardziej skomplikowany niż ten żargon matematyczno - informatyczny.
-
2009/09/22 20:03:21
Ale zapis stóp, średniówki, intonacji czy akcentu jest klarowny i przejrzysty... - może w sumie tylko dla humanoli... W każdym razie jedyne co nas łączy to x-zgłoskowiec :). (chodzi o ten X). Bardziej skomplikowany jest zapis fonetyczny czy SCS... Ale to i tak pan pikuś w porównaniu z Waszym niemalże hermetycznym językiem...
Pozdro od humana dla ściślaków.
-
2009/09/22 23:30:49
@tkacz: tu zdołałeś mnie zaskoczyć; zmusiłeś mnie do zastanowienia się czy rzeczywiście rozumiem znaczenie tego trudnego słowa "hermetyczny". Słownik mnie upewnia, że właśnie to co myślałem to mam myśleć. No to jaki on jest niemalże hermetyczny jeśli w samej Polsce co roku kilkaset tysięcy osób opanowuje go? Przecież to go czyni podobnym bardziej do Zamku z Tysiącem Drzwi...

Opanowanie go kosztuje trochę, ale jak mi moja babcia wbiła do głowy: "każda rzecz wartościowa ma swój koszt".
-
2009/09/23 20:21:05
Dla uściślenia - w wielkim uogólnieniu - pisząc hermetyczny miałem na myśli coś a'la wiedzę dostępną dla wtajemniczonych - w tym przypadku matematyków. No i właśnie dlatego, biorąc pod uwagę całą rzeszę studentów, napisałem "niemalże"....
Pozostaje tylko kwestia zamku z drzwiami - Zgodziłbym się, pod warunkiem, ze wszystkie te drzwi będą otwarte, co jest w praktyce mało prawdopodobne i zawsze ktoś trafi na te, nawet jedne, zamknięte :)

pzdr






PT KOMENTATORZY, wiedzcie: wyrzucam (prawie) wszystkie komentarze gdy link z ksywki prowadzi do działań komercjalnych. To jest blog psa ogrodnika: sam nie zarobię tu i innym nie pomogę.