Gdy mówiłem czym są odmienne trygonometryczne od innych funkcji elementarnych, cztery z nich zupełnie mi do szczęścia wystarczały. Zresztą od dawien dawna mi wystarczają. A tu Tichy w komentarzach miał mi za złe, że sekansa i kosekansa wylałem do doniczki. I argumentował zgrabnie, więc grzecznie mu powiedziałem:

Tichy, taki marketing wymaga z mojej strony rozwagi i przemyślę jeszcze mój stosunek do sekansa

i oczywiście obietnicy nie spełniłem, bo miałem inne kotki do pieszczenia i w dodatku dziury w pamięci. A tu sprawa sama do mnie wróciła i od tej chwili staję się kosekansowym konwertytą.

Biedzę się nad czymś zupełnie innym, nad tekstem z teorii Galois, i gdy się da, próbuję coś tam szkicować, bo wierzę, że tędy idą skróty do zrozumienia. I wpadło mi na papier coś, co w tekście jednak się nie przyda, ale jest bardzo miłym zadaniem szkolnym na prostokątne przerzucanie punktu między dwoma ramionami kąta:

Zadanie jest bardzo łatwe (jeśli dziecko patrzy i myśli) albo bardzo trudne (jeśli ciągi geometryczne zakuwało w innym roku niż trygonometrię). Ale w tym szkicu jest mała niespodzianka: to jest uniwersalny model nieskończonego sumowania ciągów geometrycznych z ilorazem dodatnim ale mniejszym od 1.

Dokładniej mówiąc:

Suma wszystkich parzystych potęg, począwszy od zerowej, cosinusów ostrego kąta a jest kwadratem kosekansu tego kąta.

Prawdą jest także, że suma wszystkich elementów jakiegokolwiek ciągu geometrycznego zaczynającego się od 1 i mającego iloraz dodatni mniejszy niż 1 może być przedstawiona w ten sposób.

To odwrotne stwierdzenie rachunkowo jest banałem: jeśli ów iloraz to q, to po prostu

a = arc cos √q .

Jeśli chcemy znaleźć kąt rysunkowo, trwa to trochę dłużej, ale używa się tylko Kartezjuszowej konstrukcji pierwiastka:

Biorę połowę odcinka o długości 1+q, zataczam półokrąg tą połową, wystawiam prostopadłą do półokręgu z punktu łączącego 1 z q.

Używam owego pierwiastka do zatoczenia łuku, przetnę go prostopadłą wychodzącą z poziomego odcinka w punkcie q. Centrum z którego zataczałem łuk i ów punkt przecięcia dają mi półprostą tworzącą z poziomym odcinkiem szukany kąt.

Zaskakuje mnie, że (jak sądzę) tej interpretacji nie ma po podręcznikach. Trochę trudno by mi było uwierzyć, że nikt na to wcześniej nie wpadł, ale wygląda na to, że jeśli gdzieś to jest, to tak zagrzebane, że trzeba by prosić archeologów o pomoc.

Najprościej by było sprawdzić to wysyłając np. do Mathematics Magazine, by za dwa lata recenzent odpowiedział: „drogi panie, rzecz jest świetnie znana, widziano to już nawet w jakimś polskim blogu”.