Kto nie zna paskudnej natury jedynek mógłby myśleć, że binarny zapis liczb jest dla nich wręcz marzeniem. Nie będziesz miał tam innych cyfr prócz zer i jedynek, a każdy przyzna, że w porównaniu z zerem jedynka to jest naprawdę coś. Ale nie próżno mówią, że jedinica s żiru sbiesiłas': jedynki oświadczyły, że im w zapisie binarnym niewygodnie, bo bywają wtłoczone między inne jedynki i to nie jest godne życie dla ważnej cyfry.

Człowiek o dobrym sercu, Belg i lekarz, Edouard Zeckendorf (1901-1983), mający matematykę za rozrywkę, znalazł pomyślne rozwiązanie ich problemu. Przypomniał sobie, że liczby w ciągu Fibonacciego rosną, a nawet kwitną w przyrodzie oraz w zasadzie wszędzie. Nie rosną tak szybko, by następna była aż podwojeniem poprzedniej, ale robią to w całkiem przyzwoitym rytmie, powiedziałbym w tempie złotego podziału, bowiem jeśli n-tą liczbę Fibonacciego oznaczyć (jak zwykle) przez F_n to ich kolejne iloczyny F_n+1/F_n coraz bardziej zbliżają się do sławnej liczby φ. Ach, jeśli jesteś ostatnią osobą w mieście, która nie wie co to są liczby Fibonacciego, za dwie linijki będziesz już wiedział: widzisz jaka jest tajna reguła budowy tego ciągu?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

No właśnie, dwie poprzednie dodane do siebie dają kolejną liczbę. I liczby stojące w tym ciągu taką właśnie historyczną nazwę mają. A ta, co w n-tym miejscu w kolejce stoi, n-tą liczbą Fibonacciego się nazywa.

Otóż doktor (a także i dentysta) Zeckendorf zauważył, że zostawiwszy na uboczu tę pierwszą jedynkę z ciągu, pozostałe świetnie nadają się do zapisywania liczb naturalnych:

każda liczba naturalna może być zapisana w jeden jedyny sposób jako suma niesąsiadujących ze sobą liczb Fibonacciego.

No i mamy zręczny zapis liczb naturalnych przy użyciu tylko zer i jedynek (jak w zapisie binarnym), ale jedynki nie będą już sąsiadkami. Jak zwykle, gdy liczby rosną, brzuszki im powiększają się w lewą stronę. Zasada zapisu? Rozkładam liczbę naturalną wedle ogłoszonego przepisu, od największej do najmniejszej i potem zaznaczam kolejne liczby Fibonacciego: „nie biorę, biorę” stawiając zera i jedynki. Zrobię tu jeden prosty rachunek i następne każdy już sam potrafi zrobić.

Powiedzmy, że chcę zapisać 10. Największa możliwa liczba z ciągu mniejsza od 10 to 8. Zostaje jeszcze 2, ona jest w ciągu. Gotowe, mogę pisać:

1·8+0·5+0·3+1·2+0·1=10010_Fib

– notacja Zeckendorfa liczb naturalnych jest opanowana.

Brytyjski matematyk Ron Knott, właściciel największego w kosmosie zbioru wiadomości o liczbach Fibonacciego, pisze o zabawnym (lecz niezbyt dokładnym) użytku tego zapisu przy przeliczaniu kilometrów na mile lub odwrotnie. Rzecz w tym, że jak kolejne ilorazy w owym ciągu, tak i stosunek mili do kilometra w przybliżeniu wyraża się liczbą 1,6 i ta koincydencja pozwala na zapisanie w notacji Zeckendorfa liczby mil, dopisania na końcu jednego zera i odczytania w dziesiętnym zapisie liczby kilometrów. A przy konwersji w drugą stonę obcina się ostatnią cyfrę.

Ciekawe i  sprytne, ale bardzo bym się zdziwił gdyby ktoś w mojej obecności w ten sposób przeliczał sobie jednostki. Podejrzewałbym go natychmiast o fimanię.

W podlinkowanym artykule dr Knott informuje, że Zeckendorf opublikował swój pomysł po francusku w 1972 r. i nie ma pierwszeństwa, bo pewien holenderski matematyk, C. G. Lekkerkerker, zaproponował to samo już w artykule opublikowanym w 1952 r. – ale po niderlandzku. I świat nie zauważył.

A tak niedawno, w okolicach 1590 r. inny Holender, Simon Stevin, sugerował, że niderlandzki powinien był zostać przyjęty jako język światowy, bowiem góruje nad innymi swą zwięzłością i dużą liczbą jednosylabowych słów. Chodzą pogłoski, że Hiszpania wypowiedziała wojnę Niderlandom gdy lud usłyszał, że może nastąpić małomówność.

Nie wiem czy należy współczuć Lekkerkerkerowi pecha, bowiem inne źródła sugerują, że Zeckendorf miał swój pomysł gotowy jeszcze wcześniej, ale go nie publikował. Takie przypadki wśród matematyków-amatorów nie są rzadkie, nie ma przymusu wykazywania się wkładem, którego (jak się potem okazuje) prawie nikt nie czyta. Ale zasadniczy argument jest inny: które z dwóch nazwisk jest łatwiej zapamiętać?

I był to mój kolejny wpis o sposobach zapisywania liczb. Przy okazji, widzę, że przez brak szacunku do okrągłych liczb przemknęły mi niezauważalnie setny wpis o matematyce i pięćdziesiąty około-matematyczny (o nauczaniu). Następna okrągła liczba turla się strasznie daleko, więc nic nie będziemy świętowali, przypomnę tylko, że o zapisie dziesiętnym było trochę gdy była mowa o liczbie 1/7, pojawił się już zapis binarny, a także użycie liczby 5 jako podstawy systemu – skąd nietrudne jest przejście do eksperymentów z jakimiś innymi podstawami. Zapis Zeckendorfa jest nieco odmienny, ale wcale nie najdziwniejszy z tego, co tu się jeszcze pojawi, a są w zapasie trzy inne dziwadła, które nieoczekiwanie miewają sporą użyteczność.

Dziękuję za cierpliwość i odwzajemniam się oczekiwanym przez wszystkich słowem

koniec.