Co to znaczy „dobre ćwiczenie”? Byłbym za jak najbardziej rozciągliwym określeniem, na przykład: „wraz z rozwiązaniem przynoszące satysfakcję”. Więc nie może być mechaniczne, powtarzalne – a właśnie takimi dławi się najczęściej czas i mózg uczniów. Powinno mieć estetyczny wygląd, nie zdradzający stopnia trudności (który normalny człowiek weźmie się za ćwiczenie wiedząc, że przez nie pójdzie spać o czwartej nad ranem?), wielość dróg prowadzących do celu (można konkurować z własnym dzieckiem idąc własną ścieżką), proste do wysłowienia rozwiązanie.

Łatwo tak gadać, ale w praktyce skąd brać takie coś? Ha, trzeba iść w las problemów i polować na te zwierzątka. A potem trzymać je w dobrze oświetlonym miejscu, bo jak wiadomo szukamy zgub tam gdzie jest widno.

Prostota jednego z takich zadań ukrywa jego arystokratyczne powiązania. Oto ono, z wyglądu zupełnie szare:

Ile w tych kolejnych figurach jest kwadratów?

Wskazówka: w pytaniu jest połowa odpowiedzi. A powiązania z niebieską krwią? Wzór Faulhabera, liczby Bernoulliego... Nie znasz? To nic, nie chodzi mi o to, żeby tu poznać je (to nie wykłady naukowe z S24), ale żeby poczuć perfumy przechodzących księżniczek :)

Drugie pytanie też zaczyna się od „ile” i nie ma tak ważnych powiązań, ale za to jest zabawna historyjka w tle i zaraz ją opowiem.

Ile trójkątów jest na tym rysunku?

Historyjkę podam w formie tłumaczenia mojego listu, który kiedyś wystosowałem do wydawcy pisma matematycznego. Zastępuję tu dwie konkretne liczby znaczkami m, n, żeby nie psuć nikomu przyjemności zarywania (trójkątami) nocy.

Oto początek listu:

Date: Fri, 15 Jun 2001 19:53:41
From: andsol
To: dudley@xxxxxx.edu
Subject: Poprawka (CMJ)

Drogi Profesorze Dudley,

W artykule M. Gardnera o heksagramach (str. 279 numeru Pańskiego pisma z września 2000) autor wspomina, że policzenie różnych trójkątów w heksagramie Reitera „nie jest tak łatwe”. Heksagram Reitera to gwiazda Dawida z dodatkowymi trzema przekątnymi łączącymi przeciwległe wierzchołki (jeśli myślimy, że gwiazda jest wpisana w okrąg).

W kolejnym numerze w ramce na str. 346 jako rozwiązanie podana jest liczba m. Poleciłem ćwiczenie studentom mojego kursu geometrii i jeden z nich, Jucavo Savie Rocha, podał n jako jego rozwiązanie. Sprawdzając je musiałem mu przyznać, że większa liczba była lepsza.

Reszta listu to tak zwięzły jak umiałem go zrobić opis jak policzyć te trójkąty. Nie podaję tej części tu, za dzień czy dwa wrzucę ten opis jako komentarz. O ile ktoś nie poda innego opisu tak ładnego, że się zawstydzę cytować mój.

Następnego dnia dostałem odpowiedź:

Date: Sat, 16 Jun 2001 09:10:47
From: Underwood Dudley

[...] Ma pan rację, poprawna liczba to n – przyjąłem słowo Martina Gardnera bez sprawdzenia. Paru innych czytelników też zauważyło ten błąd i jest on poprawiony w erracie, która pojawi się w jednym z kolejnych numerów pisma.

Cieszę się, że nasze pismo jest czytane tak uważnie.

Szkoda, że prof. Dudley nie był trochę bardziej hojny i nie pomyślał, że Jucavo zasługiwał na wymienienie i jego imienia w erracie. Rozwiązał zadanie bardzo szybko ale nie miał pierwszeństwa, bo pismo wysyłano do mnie ze Stanów zwykłą pocztą, czyli mogłem pokazać ćwiczenie studentom trzy miesiące później niż moi koledzy z uczelni w Stanach. A chłopcu sprawiło by wielką przyjemność, że mu się nazwisko pojawiło w druku. Ale i tak złapanie samego Martina Gardnera na pomyłce jest frajdą.

Jest tu zabawny element – Gardner pisał w artykule o pewnym zadaniu:

Brytyjski twórca zagadek Henry Ernest Dudeney [...] podawał, że było 37 rozwiązań. [...] To była jedna z jego rzadkich pomyłek.

A sam artykuł Garnera zajmuje się upychaniem liczb do gwiazdy pitagorejskiej heksagonalnej i jest tam parę dziwnych, choć zupełnie nieistotnych pomysłów, jak na przykład ten, wymyślony w 1983 roku przez Gakuho Abe:

Chodzi o to, że stoi tam 12 kolejnych liczb pierwszych w takim układzie, że w każdej linii jest ta sama suma.

Trudzić się nad czymś takim... To ja bym wolał ćwiczyć wielbłądy w jeździe na rowerze.