Lubimy ład, zrozumiałą formę, przewidywalność. To czemu od tak dawna ta fascynacja liczbami pierwszymi? Czyżby właśnie za ich nieprzewidywalność, za nieporządek, za odwieczne wyzwanie „odszyfruj nas”?

Krąży do dziś jakiś dziwny mit, że nie ma wzoru na nie. Jest, jest, od prawie 50 lat, nawet niejeden. Ale wszystkie w praktyce nieużyteczne. Jakby bilety samolotowe do Jowisza. I w zasadzie jest przewidywalne (z dużą dokładnością) ile ich jest do jakiegoś miejsca, chociaż polepszające się wyceny częstotliwości ich występowania niewiele mówią o porządku pojawiania się. Lecz nawet w tej tak zwiewnej, niedopowiedzianej w szczegółach kwestii są piękne stwierdzenia o zaskakującej ich regularności. Regularność w nieregularności, bardzo cenimy te pozorne sprzeczności, to takie małe momenty zwycięstwa nad naturą.

Jedno z nich ma już 172 lata. Liczymy od przyjścia na świat, czyli od daty publikacji, prawda? Przedstawię je tu z ukrytymi intencjami, które już teraz odkryję, dużo wcześniej przed sformułowaniem wyniku. Otóż gdy w tej dziedzinie wiedzy mówią o czymś „trudne”, nie jest jasne co to znaczy. Może być niezrozumiałe pojawienie się pojęć. Może być odstraszające wysłowienie omawianych powiązań. I może być wymagające delikatnych skalpeli obnażenie struktury zjawiska, by móc z satysfakcją oznajmić: tak, mamy dowód, że to jest prawdą.

Twierdzenie Dirichleta laik mógłby przeczuć, dziecko je zrozumie – a dowód jego znają nieliczni matematycy bliscy teorii liczb. (Nie, dziś nie jestem jednym z nich. Kiedyś prawie że znałem ów dowód. Jakby trzeba było, mogę się go szybko nauczyć. W miesiąc? A może w dwa tygodnie...)

Zaczniemy od początku, a początkiem będzie informacja, że Peter Gustav Dirichlet, Niemiec, pokazał światu swój wynik gdy miał 32 lata. Żeby to jakoś osadzić w polskiej rzeczywistości powiem, że my byliśmy wtedy od niedawna po jednym powstaniu i w przededniu innego powstania, ale jak dobrze pomyśleć, to u nas zawsze tak było z wyjątkiem momentów gdy byliśmy w czasie powstania.

Początek mamy za sobą, jedźmy do środka. Choć moje opowiadanie o faszerowaniu tabelek podaje tabele uwidoczniające liczby pierwsze, ono nie mówi o liczbach pierwszych a o pomyśle bardzo zwięzłego zapisu danych o dzielnikach liczb. Liczby pierwsze (co za degradacja dla nich!) pojawiały się tam jako niemy tłum statystów. Ale czy mogę prosić o zerknięcie na owe tabele jeszcze raz, tym razem przy szybkim rzucie oka wyławiając owe myślniki mówiące „tu stoi liczba pierwsza”? Chodzi mi o rzut ona z góry na dół, zjeżdżając po kolumnach.

„Niepotrzebne” kolumny były tam przed wejściem na scenę wyrzucone, bo chodziło o pokazanie najmniejszych możliwych dzielników, a jeśli kolumna mówiła: „tu stoją liczby kończące się na 0,2,4,6,8” to było oczywiste, że najmniejszy dzielnik to 2. A kolumna dla liczb z ostatnią cyfrą 5 równie oczywiście opisywała liczby mające dzielnik 5. Ale... warto zrobić jeszcze raz podobną tabelkę, bez owej ekonomii znaczków. Nie, nie mam zamiaru wypisywać tysięcy liczb w kolumnach, wystarczy tu wziąć ich garstkę, gdzie każdy matematyk zgodzi się, że 200 to zdrowa garstka. A więc szukamy w kolumnach myślników.

Rzecz jasna w kolumnach mamy postępy arytmetyczne: kolejna różnica liczb jest zawsze ta sama. Tutaj to 10. I równie jasna rzecz, jeśli skaczemy co 10 a ciąg zaczyna się od liczby parzystej, to w dole nie ma jak pojawić się liczba pierwsza, wszystkie one są podzielne przez 2. Podobnie z 5-tką, wszystkie liczby poniżej niej są podzielne przez 5. Troszkę żargonu? Największy wspólny dzielnik pierwszego elementu oraz różnicy postępu nie jest równy 1 (te dwie liczby nie są względnie pierwsze) i wtedy nie można zjeżdżając w dół znaleźć liczb pierwszych.

A w innych przypadkach nie ma takiej niemożliwości. I widać, że mamy nie tylko możliwość, ale i jej realizację, realne pojawianie się coraz niżej i niżej jakichś liczb pierwszych. Ład w nieładzie. Nie wiemy w którym miejscu się pojawią, ale wydaje się, że ich pojawianie się jest nieuchronne.

Takie łowy na liczby pierwsze patrząc na ostatnią cyfrę to bardzo stara zabawa. Ale czy układ dziesiętny ma tu istotne znaczenie? A gdybym poustawiał te liczby nie w dziesięciu, a w dziewięciu kolumnach?

Zjawisko podobne do poprzedniego. Nie może być pierwiosnków w kolumnach liczb 3,6,9, bo te początkowe wyrazy nie są względnie pierwsze z 9. Ale we wszystkich innych kolumnach pierwszaczki owszem, pojawiają się.

To może weźmiemy 7, bo za wyjątkiem siódmej kolumny wszystkie inne zaczynają się od liczb nie mających wspólnych z 7 dzielników:

Tak, prócz siódmej każda kolumna chwyta liczby pierwsze.

Spróbujmy jeszcze 14, dobrze? Liczby, które nie są względnie pierwsze z 14 a stoją w pierszym wierszu to 2,4,6,7,8,10,12,14 – i w ich kolumnach nie ma co szukać (poza pierwszym wierszem) liczb pierwszych. A jak to wygląda w innych kolumnach?

Czy opierając się na dotychczasowych eksperymentach odważysz się sformułować pewną hipotezę? Spróbujmy: jeśli mam postęp arytmetyczny a w nim jego różnica i jego pierwszy element są względnie pierwsze, to w tym ciągu są liczby pierwsze.

Ale od 1837 roku to nie jest już hipotezą, bo podano jej dowód. I mamy

Twierdzenie Dirichleta

Jeśli a,r są dodatnimi względnie pierwszymi liczbami naturalnymi to wśród liczb postaci a+nr (gdzie n to jakakolwiek liczba naturalna) jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Nie, dowodu tu nie będzie. Mam wrażenie, że nie ma go w żadnym z nie-doktoranckich kursów na polskich uniwersytetach. Co gorsza, skoro nie dają dowodu, to z reguły nie podają i twierdzenia – a to jest bardzo dziwne, bo przecież da się zrozumieć o co w nim chodzi, zgoda?