Znowu liczby pierwsze? To jak mielony. Jeśli dobrze zrobiony, może być codziennie.

Kiedyś tym prostym daniem zajął się jeden z największych na świecie matematyków ze swojej epoki. A może największy. Ale w matematyce nie ma mety i fotokomórek, trudno powiedzieć kto był pierwszy. Więc zostanę przy skromnym opisie: David Hilbert był wielkim matematykiem.

Dobre przykłady mogą być bezcenne przy naświetlaniu trudności, które mamy z pojęciami. Prosta analogia między liczbami pierwszymi w gronie liczb naturalnych a atomami wśród cząstek chemicznych jest chwytliwa: „nie da się rozbić na kawałki”, ale warto wysunąć podejrzliwie na świat czułki gdy coś przychodzi za łatwo. Analogia chwyta jakieś podobieństwo, ale może zaciemnić kawałek obrazka. O co tak naprawdę chodzi z tymi liczbami pierwszymi? Łatwiej mówić o odmiennych od nich, o złożonych. Mogę rozłożyć 15 na iloczyn 3×5, więc 15 jest liczbą złożoną. I niby prosta sprawa jest z 5, nie mogę jej już bardziej rozłożyć, ale...

Tu nie mogę rozłożyć. W liczbach naturalnych. Ale kto zna twór o poetyckim imieniu pierścień Gaussa (siateczka wierzchołków kwadratów o tym samym boku, wypełniająca płaszczyznę, w której pewien wierzchołek dostał tytuł zera, a najbliższy sąsiad – jedynki), może być zaniepokojony rozkładem 5=(2+i)×(2-i). I może czuć się oszukany. Liczba miała nie rozkładać się, ale patrząc nie na prostej a na płaszczyźnie łatwo ją rozłożyć. I hen sobie poszła jej pierwszość...

I przykład Hilberta mówi: weź na linii prostej tylko i wyłącznie te liczby naturalne, które po podzieleniu przez 4 zostawiają resztę 1. Więc biorę 1,5,9,13,17,...

Jeśli spojrzysz na taki zbiór z daleka, nie odróżnisz go od liczb naturalnych. Każdy ciąg nazywany „postępem arytmetycznym” (gdzieś ma początek, sąsiedzi mają między sobą zawsze tę samą odległość) podobny jest do nich geometrycznie. A to jest postęp arytmetyczny. Pierwszy element to 1, sąsiadujące elementy są odsunięte od siebie o 4.

Ważne: mamy tylko te liczby i nic, nic, nic więcej. Dodawać ich nie da się, bo suma dwóch takich da resztę 2 przy dzieleniu przez 4, ale – miła niespodzianka – mnożenie funkcjonuje doskonale. Iloczyn dwóch liczb postaci 1+4k też ma tę formę, więc jest w tym zbiorze.

I popatrz na tę prościutką równość: 21×121=33×77.

W liczbach naturalnych widać z obu stron te same czynniki: 3,7,11,11.

Pojawiły się w niej cztery liczby z tego zbioru: 21, 33, 77, 121. Żadnej z nich nie mogę w tym zbiorze rozbić na mniejsze. Więc mam zjawisko niespotykane w liczbach naturalnych: pewną liczbę mogę rozbić na elementy nierozkładalne – i są dwa zupełnie odmienne rozkłady. Czyli w tym zbiorze nie ma miejsca dla „podstawowego twierdzenia arytmetyki” o jedynym rozkładzie na liczby pierwsze.

Najprostszy sposób na oswojenie się z tą niespodzianką to rezygnacja ze słowa „liczby pierwsze”. To są liczby nierozkładalne. A liczby pierwsze powinny być opisane w jakiś inny sposób.

Jaki? Też prosty, ale używający zupełnie innego podejścia. Paradygmatu – wstawiam to słowo na użytek takich, co wiedzą, co to znaczy. Ja sam dla siebie używam słowa „podejście” Ale przyznaję, że to drugie wygląda bardziej naukowo.

Otóż pomysł na definicję jest taki. Jesteśmy w jakimś zbiorze podobnym do liczb naturalnych. Mam mnożenie i wiem co to znaczy iloczyn jakichkolwiek elementów a×b. I decyduję: liczba jest pierwszą jeśli dzieląc iloczyn musi ona dzielić przynajmniej jeden z czynników.

I wtedy pierwsze są nierozkładalne. Ale nierozkładalne nie muszą być pierwsze, jak w tym przykładzie Hilberta.

Skąd bierze się pomysł takiej definicji? A, on ma bardzo starożytne pochodzenie, ale rozmowę o jego drzewie genealogicznym można zostawić na inny raz.