... i nawet jest cała książka o pierwiastku z dwóch. Zajrzałem do spisu treści i wybranych (przez Amazon.com) stron, ale ja nie o tym. Nie w głowie mi tworzyć inną książkę o tej liczbie, ale parę wpisów do bloga wyjdzie.

(Halo? Prawdziwy Humanista? Miło słyszeć. Aha, że nie można zaczynać artykułu od trzykropka? Rozumiem, dziękuję, poprawię się w przyszłości. A dziś mi się nie chce. Zresztą niedawno miałem cały wpis o tym, że czasami mi się nie chce).

Najtrudniejsze z tym ciastkiem to pokroić je na naprawdę cienkie porcje i nie ładować paru na talerzyk. Więc dziś tylko jeden jedyny, ale piękny dowód. Dowód czego? Jak to czego. Tego, o czym mówi się od tysięcy lat. Że to nie jest liczba racjonalna. Czyli wariatka. Ach, przepraszam, po polsku o liczbach racjonalnych mówi się wymierne. Jeśli kiedyś szlag trafi całe dawne nazewnictwo i będę mógł robić wszystko od początku, nazwę je „proporcjonalnymi”. Chodzi o to samo o co w nazwie z racjonalnymi, łacińskie ratio to stosunek, proporcja. To są liczby przedstawiane jako proporcja dwóch liczb całkowitych. Iloczyn, jeśli ci z tym wygodniej.

Teraz trochę obyczajowego pyszczenia na szkolne metody. Dziś już się nie dowodzi niczego? Pół biedy. Gorzej jeśli dowodzono przez redukcję do absurdu, a uczeń nie rozumiał tego typu rozumowania. I w dodatku nudzono tam dzieleniem raz to lewej, raz to prawej strony równania przez dwa. A dawało się to uprościć...

Jeśli uczeń już wie, że każda liczba naturalna (większa niż 1) rozkłada się w jeden jedyny sposób na iloczyn liczb pierwszych, to można krótko i bez ględzenia wyjaśnić czemu pierwiastek z jakiejkolwiek liczby pierwszej p nie może być ilorazem m/n liczb naturalnych. Gdyby był, mielibyśmy pn²=m². Rozkładam m i n na liczby pierwsze. A w tym równaniu podnosimy te rozkłady do kwadratu. Nie ma w rozkładzie p? Świetnie, jest w potędze 2·0=0, a to jest liczba parzysta. Jest tam w potędze dodatniej? Po podniesieniu do kwadratu potęga będzie podwojona czyli parzysta. I patrzymy: z lewej strony mamy jeden dodatkowy czynnik p, więc ta liczba pojawia się po lewej stronie nieparzystą ilość razy, a po prawej – parzystą. Ale nie ma takiego wykładnika, który by był jednocześnie nieparzysty i parzysty, sprzeczność.

I dowiedliśmy niewymierności pierwiastka z jakiejkolwiek liczby pierwszej p, nie tylko dla p=2.

Tylko że... innym razem, na innym talerzyku położę wyjaśnienie, że dojście do tego twierdzenia o rozkładzie liczb naturalnych na liczby pierwsze to parę stopni wtajemniczenia, łatwo używać, ale dobrze jest przedtem starannie przemyśleć całkiem delikatne szczegóły. Więc nie będziemy okłamywać dzieci, że to jest bardzo prosty dowód.

Proszę się nie smucić, mam dobrą nowinę. Ha.. ona nie całkiem jest nowiną... minęło niedawno 21 lat jak wieść się rozeszła, że jest na rynku zupełnie nowy dowód i za pół ceny. I wtedy zreferowałem to kolegom w pracy, z ponurym proroctwem, że może trzeba będzie dziesięciu lat, by nowy prosty dowód dotarł do pierwszych podręczników szkolnych. Uprzejmie zawiadamiam, że rozchodzenie się było tak dobre, że wieść zupełnie się zagubiła. 21 lat minęło i do dziś nie spotkałem jednego jedynego autora, który by życzliwie ów dowód włączył do swojego nowego i postępowego tekstu. Co wzmacnia moje przekonanie, że pisze się nowe podręczniki nie dlatego, że ma się nowe idee ale dlatego, że ma się w domu kopie starych podręczników.

Długość artykułu jest przyjemna, nawet można mówić o krótkości. Jedna strona. A tytuł jest intrygujący: „Co Pitagoras mógł zrobić”. No i w istocie, nijak nie da się zrozumieć czemu tego prostego wywodu nie przedstawiono ani 25 stuleci temu, ani później.

Artykulik wyzwolił fantazję wielu sławnych i mniej znanych matematyków i później pojawiły się jeszcze inne dowody, a wszystkie ciekawe. Dlatego właśnie mam wystarczający kawałek tortu, by go położyć i na parę innych talerzyków. A dziś w całej krasie idzie dowód, że jakakowiek liczba naturalna, o ile tylko nie jest kwadratem (czyli wyrzucamy z bloków startowych 0,1,4,9,16,25 i całą tę resztę bandy), po wyciągnięciu pierwiastka staje się liczbą niewymierną.

Nazwij tę liczbę k i załóż (po to, by za chwilę tę hipotezę obalić), że są jakieś liczby m,n takie, że √k=m/n, czyli kn²=m² i od razu wybieramy ten zapis m/n, który ma najmniejszy możliwy mianownik. (Musi być taki najmniejszy mianownik. W każdym zbiorze liczb naturalnych jest najmniejsza liczba. To jest zasada indukcji, takie DNA liczb naturalnych). Ta liczba m/n nie jest naturalna, więc mieści się między pewnymi dwoma kolejnymi liczbami naturalnymi, powiedzmy, że między q i q+1:

q<m/n<q+1,   więc   qn<m<qn+n    czyli    0<m-qn<n.

Przeczytajmy to, bo to proste ale użyteczne stwierdzenie: pewna liczba m-qn jest naturalna, dodatnia i mniejsza niż n. Ale jaki jest jej związek z tym, co nas interesuje, to znaczy z równością kn²=m²?

Gdyby ją przemnożył przez m, dało by się zrobić podmianę m² czym innym:

(m-qn)m = m²-qnm = kn²-qnm = (kn-qm)n.

Przepisz to w takiej postaci:

m/n = (kn-qm)/(m-qn).

Sprzeczność! Liczba m/n została zapisana w inny sposób jako iloraz liczb naturalnych z mianownikiem mniejszym niż n.

Autorem pomysłu był Yoram Sagher. Pamiętasz z innego wpisu to nazwisko? Tak, rok później zaskoczył znowu pokazując inną niż Cantorową numerację liczb wymiernych. Dwa przepiękne, a elementarne strzały.

Yoram Sagher, What Pythagoras Could Have Done, The American Mathematical Monthly, vol.95, (Feb., 1988), str. 117.