„Rysuneczki będą następnym razem” zapowiedziałem w pierwszej części opowieści. Chodzi o rysunki ilustrujące definicje czterech funkcji zwanych „trygonometrycznymi”. Więc są. Ale przedtem wyjaśnienie czemu aż tak hołubimy funkcje trygonometryczne. Przecież nie za paskudne rachunki przy dowodzeniu „tożsamości trygonometrycznych”, zajmujące godziny szkolne, których przez to nie można już było oddać Szekspirowi, komponowaniu muzyki czy urokom Maryni.

Te przejścia od kąta (przedstawionego jako łuk na okręgu mającym promień 1) do linii prostej, przez różne sposoby „rzutowania”, pozwoliły na liczbową analizę wielkiej ilości zjawisk okresowych. Gdzie tylko jest potwarzalność w czasie czy formie (od akustyki do zjawisk biologicznych) tam pojawiają się czasami łatwe, a czasami całkiem skomplikowane wyrażenia zawierające te funkcje. Gdy łatwe, wydymamy usta i mówimy: „a, sinusoida”. Gdy skomplikowane, z szacunkiem odsyłamy do specjalistów od analizy Fouriera. A używamy ich od dawna, na przykład o roli XVIII-wiecznego opata Guido Grandiego w biologii wspominałem już tutaj.

Rysunki tych przejść mają te same kolory dla tego samego typu elementów. Zbiór wyjściowy kątów jest jasnoniebieski (funkcje te można rozważać i dla innych kątów, ale zaznaczyłem ten zbiór, na którym funkcje pozwalają na powrót, na „arksinusy, arkkosinusy” itd). Zbiór wartości - pomarańczowy. Kąt (argument funkcji), który wybieramy na rysunku – ciemnoniebieski. Wartość funkcji dla owego argumentu – czerwony. Osoby, które nic z trygonometrii nie pamiętają są w uprzywilejowanym położeniu, bo popatrzą i zrozumieją. Na benefis osób, którym trójkąt pamięci się uczepił i dobrego niczego nie robi ale odkleić się nie chce, występuje też w szarej, drugorzędnej roli onże.

sinus

kosinus

tangens

kotangens

Szkiców wielomianów czy funkcji wymiernych tu nie będzie. Parabolą (bez wyjaśnienia czym ona w istocie jest) dręczą parę lat w szkole i się opatrzała. Parę łatwych wielomianów trzeciego stopnia naszkicowałem kiedyś tutaj przy opowiadaniu zupełnie innej bajki. Wykresy ciekawych funkcji wymiernych pojawią się w innym opowiadaniu. Nie chciałbym także rozdymać dzisiejszego wpisu grafikami z funkcją wykładniczą czy logarytmiczną, szczególnie, że są łatwe do odszukania. Spieszno mi do powiedzenia co uważam za bardzo tajemnicze zjawisko w tym świecie funcji elementarnych.

A więc, towarzystwo w tym ugrupowaniu rozmnaża się przez użycie operacji arytmetycznych, składania i brania funkcji odwrotnych. I choć wszystko żyje tam na prawach równości, wyraźnie są trzy odrębne ugrupowania, zupełnie inną posiadające naturę:

funkcje zrodzone z wielomianów
funkcje pochodzące z trygonometrycznych
funkcje wywiedzione z wykładniczej.

Inne światy, inne pochodzenie, inne zastosowania.

A gdy przychodzi do mierzenia pól okazuje się, że odwrotna do tangensa mierzy pole pod kawałkiem wykresu y=1/(x^2+1), a odwrotna do wykładniczej mierzy pole pod kawałkiem hiperboli z równaniem y=1/x. Fakty te są tak proste rachunkowo, że student kursu rachunku różniczkowego (ziemniaki z mielonym na kierunkach politechnicznych) liczy to nie otwierając oczu i nie przerywając snu. Wszyscy wiedzą, że tak jest, że nie ma tu błędów, że rachunki są sprawne a użytki – duże, ale niesłychanie rzadko znajduje się fachowca, który by przyznał: „wiem, umiem dowieść, ale nie rozumiem tego”. Pociesza mnie fakt, że parę razy jednak spotkałem ludzi wyznających to swoje nieustające osłupienie – i nie są to matematycy małego kalibru.