Użyty tytuł wygrał pojedynek z następującymi konkurentami:

Funkcje elementarne atakują zdrowy rozsądek
Mistyczne tajemnice prostych funkcji
Trzy sinusy na dnie wanny

Kiedyś National Geographic Magazine zachęcał czytelników, by miast w dżungle Borneo i inne miejsca się wybierać w poszukiwaniu roślinnego bogactwa, na swój ogródek uważniej zerknęli i inaczej pomyśleli o tym, co „chwastami” nazywają. I fotografie dowiodły, że tuż obok domu tajemnic i piękna nie brak.

To zjawisko znane we wszystkich dziedzinach. Także w matematyce. Wiele osób tajemnic szuka w różnych miejscach, od żałośnie naiwnej numerologii do bardzo wyrafinowanych regularności jak hipotezy Riemanna. Czego się szuka to się odnajdzie i są zadowoleni. Ale zapomina się tu zdumiewające zjawiska (waham się przed nazwaniem ich tajemnicami, bo niewłaściwy typ muszek takie resztki pożywienia przywołują do stołu), które dostępne, więcej powiem, obowiązkowe są corocznie dla tysięcy studentów tysięcy uniwersytetów na świecie. Ludzie uczą się ich, stwierdzają „tak, to i to jest prawdą”, czasem ponarzekają, że wzorek jest im niemiły, ale bardzo rzadko się słyszy komentarz, że wzorek taki zupełnie niesamowite związki ujawnia.

Na mówienie o tym od dawna mam ochotę, a wzrosła ona ostatnio po rozmowie z komentatorami do wpisu o logarytmach. Nie jest to trudne dla użytkowników paru matematycznych słów, ale myślę, że jeśli zrobię małą sesję przygotowawczą, znacznie powiększy się grono osób, które zgodzą się, że nie jest to trudne. Tym bardziej, że autorzy matematycznej terminologii (zaręczam, że ja do tego ręki nie przyłożyłem) stosowny szantaż zastosowali, bowiem nazwali pewien zestaw funkcji „elementarnymi”. No i któż zechce przyznać się, że z czymś elementarnym ma kłopoty pojęciowe?

A mają tak naprawdę rzesze. Bo to jest termin emocjonalny a nie techniczny i nie ma zgody co do jego zasięgu. Jedni autorzy rzeczone logarytmy do elementarnych włączą, a drudzy furtkę im zatrzasną i gościny odmówią. Ponadto definicja zgrabna ma zazwyczaj jedną linijkę, ale gdyby linijek miała trzy to ciągle zgrabna by była, a więcej osób by uwagę jej oddać chciało.

Jak dobrze, że już ostatnio o wielomianach pisałem. Tak, intuicyjnie od razu przyjmiemy je za elementarne: użyte w konstrukcji cegiełki to liczby i zmienna, a reguły budowlane to dodawanie i mnożenie. Czy pamiętasz definicję liczby wymiernej? Zgoda, iloraz dwóch liczb całkowitych. I liczby całkowite tyle podobieństw z wielomianami mają, że bardzo dobrze usprawiedliwionym jest nazywanie ilorazu wielomianów „funkcjami wymiernymi”. A więc użycie operacji arytmetycznych na zmiennej x i na liczbach daje mi wiele niebanalnych funcji: wielomiany i funcje wymierne, które za elementarne uznam.

Ale w świecie funkcji nie tylko działania arytmetyczne same na myśl się nasuwają. Są jeszcze dwie inne procedury, całkiem proste. Po pierwsze, funkcja to przejażdżka między dwoma zbiorami, a takie przejażdżki można zlepiać z innymi, by całą podróż otrzymać, i takie lepienie kolejnych biletów wysyłające elementy do innych miejsc docelowych nazywa się (po prostu i sensownie) składaniem funkcji. Po drugie, często jest możliwym powrót z wycieczki zafundowanej przez funkcję (wspomnieliśmy przedtem to łacińskiego pochodzenia słowo bijekcja, szło o dwa wymagania. Dziwne, że łatwiej pamięta się termin o osobie, że jest biseksualna niż o funkcji, że jest bijekcyjna. Może ułatwijmy matematykę i nazwijmy... nie, to nie jest dobry pomysł).

W zasadzie jesteśmy przygotowani do wyjaśnienia z czego będzie złożony świat funkcji elementarnych. Wpuścimy tam parę funkcji „zarodników” starannie wybranych i przyzwolimy, by powiększały one swoje grono przy użyciu takich prostych technik konstrukcyjnych: cztery działania arytmetyczne, składanie, branie funcji odwrotnych.

Jakie zarodniki tam wstawimy? Z pewnością stałe czyli liczby, identyczność czyli funkcję y=x oraz funcje utworzone gdy zmienna biega po kółku a wartość odczytuje się na prostej. One nazywają się „trygonometryczne”. Są cztery, przynajmniej na początek (jakby się uprzeć, to dwie by wystarczyły – a nawet i jedna, bo używając złożeń i działań wszystkie inne z sinusa wytworzę). Rysuneczki będą następnym razem. No i pojawia się kość niezgody, logarytm. Jedni mają ją za elementarną, drudzy nie. Kompromisu być nie może, bo nie ma reguł. Każdy rozumie słowo „elementarny” jak sobie chce.

A jak nieelementarne są czasami te elementarne stworzonka jednym prostym przykładem chcę wyjaśnić – i on właśnie jest celem tej dzisiejszej gadaniny.

Włączam program gp (pari-gp, niech żyje Bordeaux, które go stworzyło) i piszę polgalois(x^5+2*x+1) a program mi odpowiada [120, -1, 1, "S5"].

Co ta nasza rozmowa oznacza? Wziąłem y=x⁵+2x+1, funkcję o której wiem, że rośnie bezustannie dla x-ów dodatnich (w szkole średniej da się uzasadnić bardzo prosto, że to prawda), a taka funcja ma swoją odwrotną. Zapytałem panów z Bordeaux jaka jest grupa Galois tego wielomianu, w gruncie rzeczy chcę tylko wiedzieć czy jest „rozwiązalna”. Gdyby była, równanie y=0 by było rozwiązalne i mógłbym napisać wzór na pierwiastki. Na jeden pierwiastek, ściślej mówiąc. Program mi powiedział: S₅, grupa 120 permutacji na 5 literach. Nie, to nie jest grupa rozwiązalna. Czyli nie potrafię nie tylko napisać wzoru na x ogólny, który by zależał od y, ale nawet w najprostszym przypadku y=0 nie napiszę ile jest wart x. Jest funkcja odwrotna, ale niezapisywalna, przynajmniej w systemie wymagań, które wynosimy ze szkoły w odniesieniu do „wzorów”. Wzoru nie ma, nie ma i nigdy go nie będzie.

Tak, takie zwierzę też nazywamy funkcją elementarną. Sinto muito, czyli bardzo mi przykro.

Cdn