Co wart jest błędny argument z poprawnymi konsekwencjami? Odradzam wzruszanie ramionami nad tym problemem, bo ramiona staną się tłokami pracującymi 7/24. To jest bardzo, bardzo częsta sytuacja, ale dla użytkownika teorii na ogół niezauważalna. Wszystko działa, więc nie ma sprawy.

Zabawne jest, że tenże sam użytkownik może się okrutnie dziwić, że w logice przyjmuje się poprawność rozumowania typu „od fałszywej przesłanki do prawdziwego wniosku”... oj, to mi przypomniało, że cykl o rachunku zdań ma jeszcze parę niedopisanych odcinków. Ale idzie ku lepszemu, wychodzę po trosze z szoku po-przeprowadzkowego, wszystko się dobrze skończy.

No więc czuje się czasami, że argumentacje są błędne, ale nie ma czasu i energii na sprawdzenie co tam się dzieje i żyje się w solidnej wierze, że takie nieprzyjemności to odpryski pogmatwanego życia, ale nie może się to zdarzyć w nauce czy w nauczaniu elementarza.

Oj, może. Uwierającym mnie mocno przykładem jest coś wpychanego do gardła milionom uczniów w naszych szkołach (w innych krajach też nie jest z tym lepiej) w bardzo elementarnym temacie, gdzie wszystko powinno być czyste, przemyślane i lekkie. I nie jest to żaden drugorzędny temat, chodzi o notację z wykładnikami, czyli wstęp do funkcji wykładniczej, jednego z najpotężniejszych narzędzi matematycznych, mającego zastosowania w mnóstwie dziedzin życia i w ułatwionym wydaniu znanego pod pieszczotliwą nazwą „postępu geometrycznego”. Chodzi mi o sens oznaczeń (dla jakiejkolwiek liczby dodatniej c) wyglądających tak: c¹ oraz c⁰. W pierwszym przypadku szantażuje się dzieci kompletnie fałszywym argumentem, że „to jest oczywiste” a w drugim przeprowadza się jakieś rachunki rzekomo dowodzące czegoś, bez kropli zrozumienia, że rachunek to jest rodzaj mostu prowadzącego z jednego miejsca do drugiego, a jeśli drugiego miejsca nie ma to rachunek wisi i wygląda głupio.

Przypuszczalnie pamiętasz ze szkoły, że mówią jakoś tak: zamiast pisać c×c napiszemy c² i ta dwójka, nazwana wykładnikiem, będzie wskazywać, że mamy dwa czynniki mnożenia. Stąd sensownie rozszerzy się symbol na c³ czy c⁴ w znaczeniu (c×c)×c i [(c×c)×c]×c i tak dalej. Pełna zgoda, to jest tzw. argument indukcyjny: jeśli wiem jak zabawa się zaczyna i co jest w jakimś miejscu, to wiem co idzie potem. Ale tu następuje zdumiewający przeskok od myślenia do rzekomej oczywistości i uczeń słyszy od swego mistrza (chwała oraz dyplom mistrzom, którzy takich banialuk nie opowiadają): gdy mamy tylko jeden czynnik to piszemy c¹, czyli c¹=c.

Kompletne kretyństwo. Czy znasz ten stary dowcip: „jaka jest różnica między jaskółką?” Zaskoczony słuchacz dostaje tę odpowiedź: „a taka, że ma jedną nogę od drugiej”.

Oj, nikt się nie śmieje z ulubionego przeze mnie dowcipu? Rozumiem i przepraszam, wracamy do wykładnika jeden. Mnożenie to operacja wykonywana na parach liczb. Gdy ją wykonuję, biedne liczby jej poddane nazywam czynnikami. Jak nie ma dwóch liczb, nie ma mnożenia, nie ma czynników, a jest klops.

Ale w istocie przyjmuje się, że c¹=c i to jest dobre. Rzecz w tym, że ględząc o rzekomej oczywistości i o czynniku przemyka się nad sednem problemu: a na jaką cholerę robi się ten skomplikowany symbol c^x, gdzie x na początku jest liczbą naturalną większą od 1, potem może być wzięte x=0, x=-17 i tak dalej, nawet x=π/4?

To da się prosto opowiedzieć, i zamierzam za parę dni to zrobić, ale zostawię to w zawieszeniu właśnie po to, by kto chce miał czas na zastanowienie się nad tym malutkim dydaktycznym nieporozumionkiem – bo ma on w sobie bardzo istotny wymóg, żądanie odmiany paradygmatu. Trzeba przestać myśleć o matematyce jako o cyklu kretyńskich rachunków prowadzących od jednej do drugiej liczby a zastanowić się czym jest każda z wprowadzanych w niej konstrukcji: jak i po co się je robi.

I jak na jeden dzień to wystarczy tych rewolucji.