Czy znasz tę krzywą?

Gdyby współrzędne biegunowe miały agencję reklamową, ta krzywa by była jej najsławniejszą modelką. We współrzędnych kartezjańskich jest krzywą czwartego stopnia, a w biegunowych... czarująca prostota, ale o tym za chwilę.

Współrzędne biegunowe? Jesteś na płaszczyźnie, masz dla orientacji linię horyzontu i punkt na niej. Każdy inny punkt określisz odległością („promieniem”), na którą musisz się oddalić, by do niego dotrzeć oraz kątem pod którym musisz wystartować. I „równanie krzywej” w tych współrzędnych to relacja jak promień zależy od kąta, by punkt lądował na krzywej.

Oczywiście szkic nie ma nic wspólnego z pompą do krwi i dlatego nazywamy ją krzywą sercową, kardioidą. Z tradycją i z symbolami nie warto się kłócić.

Zrodziła się ona w pięknym dla krzywych okresie, w XVII w., gdy współrzędne podbijały świat i wszyscy opisywali kształty równaniami. Pewności nie mamy, ale wydaje się, że ojcem jej był Pascal, w okresie gdy jeszcze płodził (matematykę).

Z przykrością widzę, że nie widzę nigdzie prostego wyprowadzenia jej prostego równania r=1+cos t (r to promień, t to kąt), a ponieważ nierzadko trafiają do mnie przez panią Google prośby o przykłady użytków twierdzenia Talesa, zdecydowałem się, że oddam temu parę godzin (których zresztą nie mam). Nie rachunki, ale przyzwoite szkice zajmują tyle czasu, więc gdyby jakaś ściąga chciała mi je ścierwnąć, niech uprzejmie powiadomi świat, że to ode mnie.

Skąd krzywa się bierze? Najprościej: tocząc wokół nieruchomego kółka (na poniższym szkicu po lewej) drugie, tego samego wymiaru i śledząc trajektorię jednego zaznaczonego punktu. Dla wygody rachunków biorę okręgi o średnicy 1, czyli promień to 1/2. A punktem orientacyjnym, od którego będę mierzył r, będzie to miejsce, do którego toczące się kółko dotrze w połowie drogi.

Usunę owe toczące się kółko i końcowy efekt będzie taki:

Powiedzmy, że kółko ruchome przetoczyło się o kąt t (mniejszy niż kąt prosty). Mam tę sytuację:

Dla znalezienia zależności r od t usunę ze szkicu wszystko, co można, bez szkody dla rozumowania:

No i wynik dostaję bez trudu:

Kto dotarł do tego miejsca i ciągle rozumie co się dzieje, z pewnością sam(a) by sobie poradził(a) z sytuacją, gdy kółko przetoczyło się dalej niż o kąt prosty. Ale jak ułatwiamy, to ułatwiamy aż do nieprzyzwoitości; oto odnośny szkic:

i trzeba będzie do nowych trójkątów znowu zastosować twierdzenie Talesa i wykorzystać wzór cos(π-t)=-cos t. Końcowy wynik ma tę samą postać co i poprzednio: r=1+cos t.

A jeśli chcesz „prawdziwe” serce (takie z pierników), zerknij na końcówkę artykułu z MacTutora (pierwszy przykład) – tam widać, że bawiąc się dość prostymi równaniami można nieźle się rozerwać.

PS. Dopisek na Dzień Dziecka, wywołany anatomicznym komentarzem Kwika: krzywa, której parametryczne równanie mi się kiedyś wypracowało:

ma taki wykres: