|
Blog > Komentarze do wpisu
Dyskryminacja u wielomianów
Obiecałem na dziś wyjaśnienie o wykładniku? Obietnicy nie spełnię i zrobię coś szybszego. Dzień mi się skrócił, wstyd prawdziwemu samcowi alfa się przyznać; prasowanie, ktoś to musi zrobić. No dobra, beta nie alfa, a za prasowanie relegacja do gama. Więc już nocka i coś kląska w pobliżu. Chyba komputer synów, trzeba im przypomnieć, że jutro mają szkołę. Ale żeby nie być kompletnym kłamczuszkiem, podsunę pytanie, które w gruncie rzeczy wiele ma wspólnego z ową kwestią wykładników. Nie w temacie, a w duchu, w podejściu. Kwestia o odwiecznej krzywdzie u wielomianów.
Czy ja się chwaliłem, że kiedyś poprawiłem w Wikipedii bezsensowną definicję wielomianu (wyrażenie postaci pitu-pitu... czarna rozpacz, to jakby wyjaśniać, że Krysia to jest coś zapisywanego literami ka – er – igrek – es – i – a. W ten sposób to cała matematyka jest wyrażeniem postaci). I nawet chyba do dziś tam stoi, że możemy wziąć zmienną i liczby i używać dodawania i mnożenia – i funkcja, którą wyprodukujemy nazywa się wielomianem. Tylko, że kolejny poprawiacz Wikipedii zachował tę część mego zapisu, ale zmodyfikował resztę tak, by była w starym, formalnym i nieczytelnym duchu. I zapewne był zadowolony z siebie. To niech mu tam będzie. Nie mam czasu na przeciąganki. Ale proszę zauważyć, że w definicji mówi się „możemy” a nie „musimy” – i jeśli nie użyję zmiennej to po prostu mam liczbę, więc liczba traktowana jako „funkcja stała” jest wielomianem.
Ok, rzecz w tym, że wśród wielomianów łatwo jest wprowadzić prawie wojskowy porządek dając im stopnie. Patrzymy jaka była największa możliwa ilość x-ów czyli zmiennej, które w wielomianie się pojawiły przy jednej liczbie (przy braku liczby jak zwykle rozumiemy, że liczba 1 bawi się w chowanego) i nazywamy tę ilość stopniem wielomianu. Dlatego jak weźmiemy -5x3+4x-7 to mu damy stopień 3, a 6x+4 ma stopień 1 – i żeby jakoś poradzić sobie z wielomianami stałymi, bez x-a, mówimy, że mają stopień 0. Biedule, to mało, ale przynajmniej mają jakiś stopień.
Nie wszystkie. Okazuje się, że jest jeden jedyny wyjątek, wyrzutek w świecie wielomianów, funkcja tożsamościowo równa zero (stała 0), która stopnia nie dostaje i koniec.
Pytanie: czy wiesz jaki jest motyw tak okrutnego traktowania funkcji f(x)≡0? środa, 13 maja 2009, andsol-br
TrackBack
Komentarze
2009/05/13 08:46:22
wartość wyrażenia 0^n dla niezerowych wartości n wynosi 0
Kiedy zaczynamy zaczynamy konstruować potęgowanie, wychodząc od wielokrotnego mnożenia, n jest liczbą naturalną. W trakcie i po zbudowaniu - "dla dodatnich wartości n". 2009/05/13 10:25:06
topsze... to ja musze sie przyznac bez bicia; programowanie prostrze jest...
2009/05/13 13:13:05
@Nina: programowanie czego? Bo jeśli programujesz jakiś algorytm związany z wielomianami, to będzie arcyprawdopodobne, że pojęcie stopnia wielomianu tam się pojawi. I niepełne zrozumienie znaczenia słowa może mieć niemiłe skutki (dla programu i jego użytkownika, programista zostaje w cieniu i bez poczucia winy).
Bywa, że program z błędami rzeczowymi kręci się dobrze i wtedy mówią, że jest dobrze napisany :) @banderzwierz: nie tylko zlokalizowałeś zwierza ale i bardzo precyzyjnie go ustrzeliłeś. Jakiś zwrot podobny do Twojego (albo on sam) o zderzeniu dwu niemożliwych do pogodzenia prawidłowości powinien siedzieć wytłuszczony i oprawiony w ramkę w podręcznikach szkolnych. Ale podejrzewam, że nie znajdzie się wśród dopuszczanych do szkoły ani jednego jasno to mówiącego. Szkoda, bo uczniowie mieli by niezły (bo prosty) materiał na przemyślenie tego jak tworzy się pojęcia wychodząc od pewnych chęci, które po nałożeniu garnituru nazywają się postulatami. Ale chyba dobrze jest odłączyć ostatni paragraf, bo choć dotyczy on Świata Złośliwych Przypadków przez Zero Czynionych, to przy definiowaniu stopnia można to pominąć (wyjaśnienia to nie jelenie, mniejsze są ładniejsze). Oczywiście w meritum masz rację, pisanie stałej z dodawaniem czynnika x w potędze 0 to bardzo niebezpieczny zwyczaj i wiele długich rachunków zdechło potknąwszy się na tej pułapce. Wracając do definicji stopnia wielomianu, brak wyjaśnienia w szkole o co tu chodzi i konsekwencje z błędami rachunkowymi są przysłowiową kroplą wody, w której odzwierciedla się świat szkolnych nauk. Definicja niekompletna jest złą, błędną definicją (przecież od denificji tak mało wymagamy, by pokrywały wszystkie przypadki, nie miały wewnętrznych sprzeczności i rzeczywiście opisywały coś, co istnieje choć w jednym egzemplarzu). Mówią niekiedy, że matematyką jest to, co robią matematycy. Znaczna większość matematyków w swej praktyce pedagogicznej popełnia tu błąd, choć wielu z nich zdaje sobie sprawę, że go popełniają, ale oszukiwanie ucznia, forma lekceważenia go, jest codzienną praktyką. No więc niechlujność jest częścią matematyki, wbrew oficjalnej propagandzie, że to taka dziedzina, gdzie wszystko jest dokładne, logiczne i uporządkowane. Nie, nie jest. I nie ma w tym tragedii, matematyka ma ważniejsze rzeczy do robienia niż tylko sprawdzać, że wszystko jest odpucowane na wysoki połysk. Tragedią jest kłamanie, że wszystko lśni. 2009/05/13 13:20:09
Może dodam takie wyjaśnienie sprzeczności pożądań. Powiedzmy, że s(0), stopień wielomianu tożsamościowo równego 0, to jakaś liczba naturalna k. I oczywiście s(2x^3)=3. Ponadto, 0*2x^3=0, więc gdybyśmy domagali się utrzywania zasadności wzorku
s(P*Q)=[s(P)]*[s(Q)], mielibyśmy k=s(0)=k+3, i temu wymogowi żadna liczna naturalna nie sprosta. 2009/05/13 13:40:33
Tak to jest. Po przeczytaniu wysłanego pożałowałem, że nie rozdzieliłem tych dwu części. Albo nie poprzestałem na pierwszej. Niestety, nie ma możliwości edycji komentarzy (chyba że Ty masz?).
2009/05/13 13:58:44
Nie, też nie mam. Blox pozwala mi tylko usuwać (moje czy cudze) komentarze. Ale jeśli one się nawarstwią, to dopisanie lepszego i usunięcie starego nie było by dobre dla późniejszego czytelnika :)
2009/05/13 20:53:50
Andsol: na szczescie w C nigdy nie musialam bardzo ekstensywnie programowac a wszystkie jezyki wyzszego poziomu maja na tyle rozwiniete libraries ze nie trzeba sie p.... z takimi rzeczami....
Gość: Throgh, axw134.internetdsl.tpnet.pl
2009/05/14 09:02:11
Mniam! I znowu posmakowało. Dzięki. O ile ciekawiej byłoby w szkołach, gdyby matematyki, zresztą nie tylko, uczyć po ludzku. Po ludzku czyli wzbudzając ciekawość, a nie budować zasieki niezrozumiałych pojęć.
|
|
(-5x²+4x-7) * (x+1) = -5x³-x²-3*x-7
(2+1=3)
Także jeśli jeden z nich ma stopnień równy 0 (jest stałą):
(-5x²+4x-7) * 3 = -15x²+12x-21
(2+0=2)
ale... jeśli jeden z nich jest funkcją stałą równą zero, to wynik mnożenia też jest funkcją stałą równą zero
(-5x²+4x-7) * 0 = 0
(2+0 <> 0)
Reguła sumowania stopni wielomianów w tym miejscu miałaby kłopotliwy wyjątek. Prościej zrobić wyjątek umawiając się, że wielomian W(x)=0 w ogóle nie ma stopnia. Nasz pokrzywdzony wielomian jest ofiarą zderzenia dwu niemożliwych do pogodzenia prawidłowości.
To dlatego, że kłopotliwe jest 0^0. Ze względu na mnożenie i dzielenie potęg wygodnie przyjąć w definicji potęgowania, że wartość wyrażenia C^0 dla niezerowych wartości C wynosi 1. Dla spójności przyjmujemy, że C^0 jest równe 1 także dla C równego zero. Z drugiej strony, wartość wyrażenia 0^n dla niezerowych wartości n wynosi 0, więc "oczywistość" i spójność przy tym spojrzeniu podsuwa, żeby 0^0 było także równe 0. Ale ta prawidłowość ma o wiele mniejsze praktyczne znaczenie, niezachowanie jej (dla jednego przypadku) będzie sprawiać mniej kłopotów, więc w konstrukcji potęgowania przyjmujemy, że
0^0 =def= 1.