Napisałem na kartce liczbę dodatnią. Jaki jest jej wymiar?

Dziwnie brzmi to pytanie. Dodatnie liczby są do mierzenia wszystkiego, także ich samych. I liczba jest swoim własnym wymiarem, prawda?

Prawda, ale... Jednak jest jakaś inna miara liczb, bo mówimy na przykład: „wydatki rzędu tysiąca” i z pewnością jest to więcej niż setka a mniej niż pięć tysięcy. Więc ten „rząd” odnosi się do jakiejś miary liczb. (Przy okazji, lekki szlag mnie trafia gdy słyszę sprzedawcę mówiącego: „z upustem cena będzie rzędu sto trzynaście złotych i piętnaście groszy”).

Nasze obycie z rachunkami (czy mogę przypomnieć, że nie tylko Człowiek z Jaskiń miał spore kłopoty rachunkowe, sprawnie wykonywane cztery działania arytmetyczne to ciągle nowinka w skali historycznej) podsuwa całkiem sensowną odpowiedź: wymiar jest związany z ilością cyfr użytych w zapisie liczby i chodzi o cyfry stojące przed przecinkiem. I w zasadzie jest świetnie, ale zaczyna być cudownie gdy sobie uświadomimy, że mając dobrą definicję wymiar iloczynu liczb to suma wymiarów. W tym momencie Kubuś Puchatek miałby pewność, że to znaczy coś ważnego.

Oczywiście to ględzenie jest ciągiem dalszym wpisu sugerującego, że w szkole opowiada się androny gdy wpiera się w dzieci, że gdy liczba a jest jedna to jest jednym czynnikiem mnożenia i rzekomo dlatego a=a¹.

Otóż patrzymy na zapis dziesiętny liczby (czyli cyfry od 0 do 9 poupychane bez spacji) i myślimy: dla 100 czy 10000 łatwo mówić o wymiarze, bo policzymy im zera po jedynce, ale jak określić wymiar innych liczb, szczególnie jeśli nie są całkowite?

Ten wymiar liczby (wykładnik, duszyczka, logarytm, nazwij to jak chcesz) okazał się stworem tak ważnym w historii zachodniej cywilizacji, że gdy już wymyślono jak go określić i policzyć, tabele, całe książki z tabelami tych duszyczek, sprzedawały się tak świetnie, że w wielu drukarniach wyparły druk Pisma Świętego i nawet formularzy podatkowych. Ciepłe bułeczki, radość drukarzy z początku XVII wieku. Z pomocą tych tabelek mnożenie (a dużo wtedy było mnożenia, ruch był ostry w interesie) stawało się łatwo wykonalne po paru sesjach treningowych – był to przełom rachunkowy porównywalny z wprowadzeniem na rynek kalkulatorów.

A więc idea jest taka: chciałbym stworzyć funkcję „obłuskiwacz duszyczek liczb dodatnich” taką, żeby zamiast mnożyć te liczby można było dodawać ich duszyczki. Lecz zabawa by była bezwartościowa gdybym z otrzymanej duszyczki-sumy nie mógł wrócić do pewnego ciała liczby dodatniej. Czyli musi to być proces dwustronny, jazda do świata logarytmów i powrót do zbioru liczb dodatnich. Taki proces nazywa się „funkcją odwracalną”. Pamiętasz te zwroty o funkcji injektywnej, surjektywnej, bijektywnej, o przyporządkowaniu jedno-jednoznacznym? Tak? To świetnie, zapomnij. I myśl po prostu: nie mogę wrócić z miejsca do którego nie dojechałem. I gdybym był w miejscu, gdzie dojechałem na dwa różne sposoby, nie wiedziałbym co to znaczy „powrót”, bo do którego niby miejsca? Czyli jeśli chcę mieć powrót z duszyczek do liczb dodatnich, muszę mieć pewność, że każda liczba jest czyjąś duszyczką i że jedna duszyczka nie należy do dwóch ciał. I cała sprawa w tym jak sobie zorganizować konstrukcję takiej funkcji.

Zabawa zaczęła się od 10, 100, 1000 itd? Ale to przecież nieważne, że 10. ET był stworzonkiem miłym a miał tylko 6 palców i na jego planecie nie zrozumiano by tej obsesji liczbą 5+5. A na jeszcze innej planecie mogą żyć kuzyni ET mający trzy rączki trzypalcowe i tam bazą liczenia na palcach będzie 9 a nie 10. Więc weźmy jakiekolwiek a>1 i zacznijmy wymyślać dla tej bazy (zastępującej 10 czy 6 czy 9) powrót od duszyczek czyli funkcję wykładniczą. Początek jest łatwy, już wymyśliliśmy co to by było a² czy a³ – i widać, że iloczyn liczb sprawia, że sumuje się duszyczki czyli wykładniki. Liczymy ilość czynników. Ale zanim pomyślimy o najróżniejszych x występujących w roli wykładnika, musimy coś postanowić z najprostszym przypadkiem x=1.

Zauważ, że skoro a>1, to a²>a – mnożenie przez a (większe niż 1, więc dodatnie) nie wywraca porządku na osi liczb, jeśli pierwsza liczba stoi na prawo od drugiej, to po przemnożeniu porządek ten jest zachowany. To jest ważne, bo jeśli stworzymy funcję rosnącą i określoną dla wszystkich liczb x, to można wierzyć, że będzie istniał powrót. I jeśli funkcja wykładnicza będzie zamieniała dodawanie na mnożenie, to odwrotna do niej – mnożenie na dodawanie i właśnie to nam się marzy. I startując od tych naszych postulatów (dezyderatów, próśb, pożądań, znów wybierz sobie miłe ci słowo) i wykonując znane ze szkoły rozumowania widzimy, że dla wypełnienia naszego programu musimy przyjąć a=a¹ i 1=a⁰ i wiele innych rzeczy wciskanych w ucznia w postaci wzorków – i rachunkowo to wszystko jest świętą prawdą, ale to nie są dowody czegokolwiek, to jest dostosowywanie definicji do naszych projektów. Jeśli chcesz mieć taki wynik, to popatrz: nie masz innego wyjścia, musisz przyjąć taką definicję. To taki lejek definicyjny, do którego wchodzisz z dobrej woli, nie ma żadnej siły natury, która tam cię wciska.

Domyślam się, że mogło cię zaniepokoić sformułowanie „można wierzyć, że będzie istniał powrót”. Wiara w matematyce? Cóż widzę dwa proste wyjścia. Albo uczymy teorii granic i porządnie wprowadzamy liczby rzeczywiste i wtedy będziemy wiedzieć, a nie wierzyć – albo nie uczymy jej z jakichś ideologicznych powodów (np. dzieci powinny być szczęśliwe i nie przemęczane myśleniem) i wtedy umiemy radzić sobie z wykładnikami wymiernymi (ilorazy liczb całkowitych), a dla innych liczb to będzie ludowa gawęda o tym, że coś by było coraz bliżej czegoś innego, i będzie to bajka z tak wątpliwym morałem jak nie przymierzając o dziewczynce z zapałkami, więc może dla zachowania zdrowia psychicznego młodzieży lepiej jej nie opowiadać?