Stonogę, jak wiadomo, wymyślili wcześni matematycy, gdy im znudziło się liczenie nóg ssaków i owadów. Później okazało się, że można zaspokoić manię liczenia obywając się bez przyrody, bo co pojęcie to kopa nowych pytań w stylu „a ile tego jest?”

Bierzemy na przykład zwykłą czyli naturalną liczbę, takie 9 czy 150 i pytamy: „ile ona ma dzielników?” I natychmiast pojawia się rozdział ludzkości na trzy grupy. Najliczniejsza mówi: „a odwal się”. Druga, bardzo liczna, składa się z zainteresowanych i pracowitych, którzy starannie wypisują wszystkie dzielniki i potem zliczają je na palcach albo fasolkach. (Częste zanikanie grzecznych dzieci bez śladu nie jest związane z porywaniem na przeszczepy albo przez UFO ale z liczeniem w piwnicach ilości dzielników liczb większych od miliona). Trzecia, mniej liczebna, to zainteresowane lenie, które myślą i myślą co tu robić, żeby nie liczyć i odkrywają, że to jest proste i łatwe jeśli użyć twierdzenia o jednoznacznym rozkładzie liczb naturalnych na liczby pierwsze.

Ani mi w głowie napisać krótko i prosto symbolami o co tu chodzi, bo i bez symboliki matematycznej czytelnictwo bloga jest mi w zaniku (to chyba wpływ tych cholernych zajączków otumaniających lud czekoladą, po której nikt nie chce czytać blogów), więc opowiem to bez strasznych znaczków. I co gorsza, na przykładzie.

Powiedzmy, że ta liczba to 1000. Owo twierdzenie mówi, że jeśli rozłożyłeś ją na iloczyn czynników: trzykrotnie pojawiającej się liczby 2 i trzykrotnie użytej liczby 5, to nikt nigdy nie rozłoży tej liczby na inny iloczyn liczb pierwszych. Bo liczby pierwsze to takie bidulki, co mają tylko dwa dzielniki, 1 i siebie samą (aha, są poważne powody, żeby zaczynać liczby pierwsze od 2, czyli liczbę 1 wykluczyć z rozważań dekretem).

No i myślimy: dzielnik liczby 1000 może mieć tylko te liczby pierwsze: 2 lub 5, w swoim rozkładzie (potrafisz wyjaśnić dlaczego?) Z jaką wielokrotnością mogą się one pojawić? Nie więcej niż 3. Ale to nie są 3 możliwości, bo te liczby pierwsze mogą nie być użyte, czyli (to ma sens jeśli myśli się nie o wielokrotności a o „wykładniku”) 0 razy. Więc 3+1 możliwości dla liczby pierwszej 2, tyle samo dla liczby pierwszej 5 i mamy 16 możliwych dzielników. A wszystko wyszło wręcz odwrotnie niż u pracowitych ludzi: zamiast wypisać w pocie czoła wszelkie dzielniki otrzymane eksperymentalnie (oj, a nie ma tam aby błędów albo przeoczeń?) wiemy, że każdy dzielnik musi mieć wygląd 2^a5^b, wstawiamy za a możliwości 0,1,2,3, podobnie z b – i produkujemy bez wysiłku pełną listę dzielników liczby 1000.

Sprawdzimy na przykładzie liczby 209088 czy rzeczywiście dało się to wszystko zrozumieć. Jeśli mamy komputer z systemem operacyjnym Windows, odinstalowujemy go i instalujemy Linux. Jeśli już mamy Linux, piszemy w linii komend „factor 209088” i wciskamy Enter. Maszyna powie:

czyli nasza liczba to 2⁶3³11². A więc dzielnik jej musi mieć postać 2^a3^b11^c i mamy 6+1=7 możliwości dla a, 3+1=4 możliwości dla b i 2+1=3 możliwości dla c. Ponieważ są to niezależne od siebie możliwości, każda z nich może pojawić się w połączeniu z każdą inną, czyli mamy 7×4×3=84 możliwych zestawów. Wzniosła i szlachetna odpowiedź brzmi: liczba 209088 ma 84 dzielniki.

I tyle tego o stonogach na dzisiaj. Aha, opisaliśmy funkcję ν(n) przedstawiającą ilość dzielników liczby n za pomocą wykładników, które pojawiają się w rozkładzie n na czynniki pierwsze.