Poprzednie części:
0 Sprzeczność, tautologia, negacja i identyczność
1 Motywacja i kropla historii
2 Równoważność
3 Alternatywa, koniunkcja, prawa de Morgana
4 Implikacja
5 Zaprzeczanie implikacji
6 Reductio ad absurdum

Łączność

Opowiedzenie jak „lub, albo” z naszego języka przerobiliśmy na „alternatywę” z logicznego żargonu nie było trudne. Nie zająknęliśmy się wtedy jednak ani słowem, że „lubowaniem” można skleić w jedno więcej zdań. Tyle ile nam przyjdzie ochota. I choć intuicja (czytaj: lenistwo) mówi, że sposób klejenia, czyli kolejność przylepiania kolejnym „lubem” następnego zdania, nie wpłynie na wartość logiczną całego tworu, to jednak nie można po prostu przeskoczył wesoło tego punktu ze staropolskim okrzykiem na ustach „a jakoś to będzie”. A może są i osoby, które nawet nie zdały sobie sprawy, że tu kolejność łączenia mogła by czemuś zaszkodzić? Więc najpierw powiem co tu wymaga sprawdzenia, potem – czemu nie musi to być takie oczywiste, potem nie wspomnę co za rzeźnię umysłową robią z tego ćwiczonka w szkole, a potem pokażę czemu to jest łatwe.

Chcę powiedzieć coś takiego: „r lub s lub t”. Czy mogę to zapisać logiczną notacją w ten sposób r ⋁ s ⋁ t? Alternatywa nie chwyta trójek zdań, a ich pary, więc w istocie muszę zastosować dwie alternatywy:

(*) tak:    (r ⋁ s) ⋁ t     lub tak    r ⋁ (s ⋁ t) .

Muszę mieć pewność, że wyjdzie na to samo. Przypominasz sobie coś podobnego z arytmetyki? Na przykład stwierdzenie, że zawsze mamy

(a+b)+c=a+(b+c)    a także    (a·b)·c=a·(b·c).

Zapewniano nas, że jakie by nie były liczby a,b,c, obie równości zawsze będą prawdziwe. Czemu? A bo tak, czyli na podstawie dekretu. Matematyczny dekret nazywa się aksjomatem, gdzieś w Princeton czy w Krakowie jest Najwyższy Sąd Konstytucyjny, który sprawdza czy te dekrety mają ręce i nogi (czasami po 2000 lat okazuje się, że nie bardzo), a w międzyczasie ty chodzisz ulicami i nie przejmujesz się tym.

Wygląda na to, że potrzebujemy łączności alternatywy (a później będziemy też chcieli mieć łączność koniunkcji). Ale na szczęście tu dekrety nie są potrzebne, możemy łatwo udowodnić, że prawda czy fałsz całości z trzech zdań zlepionych dwoma alternatywami nie zależy od sposobu lepienia.

Nawet bez kursu psychologii domyślam się, że wiele osób uważa łączność czyli sztukę rozstawiania nawiasów za sporą nudę – i może kiedyś wdam się w jej obronę. Ma ona bardzo ciekawe przeformułowania na opowieści o chodzeniu górą i doliną i na uściski rąk, a ilość takich rozstawień wyrażają liczby Catalana ukryte w trójkącie Pascala, więc ktoś z tak szlachetnej rodziny nie może być aż do cna nudny. Ale o tym kiedy indziej. Teraz pilniejszym jest przekonanie ciebie, że nie wszystko na świecie jest łączne, czyli że jest o czym tu w ogóle mówić.

Powiedzmy, że łączysz cement, wodę i truskawki. Raz dostajesz beton z ozdobą truskawkową, a drugim razem (nieco niestrawne) ciasto truskawkowe. Albo (przykład, który już gdzieś opowiedziałem, a który mógł mnie całkiem sporo kosztować, bo wybrałem złe rozstawienie nawiasów) łączysz nadmanganian potasu, fosfor czerwony i wodę.

Że w życiu owszem, ale nie w matematyce? To zabaw się sprawdzeniem, że zupełnie inne wartości dostajemy w tych dwóch przypadkach:

(r ⇒ s) ⇒ t     oraz     r ⇒ (s ⇒ t)

– ujrzysz to szybko biorąc trzy fałszywe zdania. Przy okazji, jak miło używać tu notacji logicznej! Pomyśl o porównywaniu takich dwóch hydr: „jeśli mamy rozumowanie mówiące, że z przyjaźni Sokratesa z Dokartesem wynikało, że mieli świetne wspólne publikacje, to wnosimy, że koguty są większe od słoni” – i tej: „jeśli Sokrates i Dokartes byli przyjaciółmi to wnioskujemy, że z ich świetnych wspólnych publikacji wynika, że koguty są większe od słoni”.

Obiecałem, że okropności ze szkoły dotyczących łączności alternatywy nie będę komentował, ale powiem, że zazwyczaj są to tortury rozłożone na osiem linii. A potrzebne jest w istocie jedno jedyne sprawdzenie, kiedy jest możliwe, że w (*) pierwszy przypadek, (r⋁s)⋁t jest fałszywy.

A więc, kiedy u ⋁ t jest fałszywe? Przy fałszywości tak u jak i t. No więc jeśli u ≡ (r ⋁ s) ≡ 0, to tak r jak i s ma wartość 0. Czyli taka sytuacja zdarza się tylko i wyłącznie gdy wszystkie trzy zdania, r,s,t, są fałszywe. Ale w tym wypadku drugie wyrażenie z (*), r⋁(s⋁t) też jest fałszywe, koniec sprawy.

Łatwo domyślić się, że jeśli można było bez przejmowania się kolejnością używania spinaczy typu „alternatywa” połączyć w całość 3 zdania, to można też połączyć ich 10 albo milion albo...

Albo – strach myśleć – nieskończenie wiele zdań. Tylko że dla miliona taki zapis jest nieporęczny, a dla nieskończoności – niemożliwy.

I dlatego Człowiek wymyślił Kwantyfikatory.

I w następnym odcinku to słowo ciałem się stanie.

Nie dosłyszałem, co mówiłeś, Jasiu? Czy można myśleć o łączności równoważności i nierównoważności? Można, wszystko można, ale gdzie to ci się przyda?