Brzmi mądrze, więc kto wyrażenia używa, mądrzej wygląda. Ale niesie po polsku niemiłe skojarzenia, zwrócone ku takiej dozie uporczywości, która z nienormalnością graniczy. Dziwne ścieżki łacińskiego czasownika figo, figis, które mówiło o przytwierdzeniu gwoździem czy o przyszpileniu.

Więc może lepiej bym zrobił mówiąc o uporze czy blokadzie myślowej? Wszystko jedno, zjawisko jest znane, ma związek z niedobrą częścią rutyny, wynik niewysłowionego nastawienia „tak jest bo tak zawsze było”. Chcę pokazać, że niekiedy przy spotkaniu się z problemem matematycznym, odchodząc od wyuczonego, na ogół pożytecznego, podejścia można bardzo uprościć zadanie.

Ale to nie jest politycznie poprawne pedagogiczne przesłanie, więc potem pokażę przypadek gdy pewne proste wyuczone rutyny upraszczają niemiłe rachunki. W ten sposób zremisuję partię z rutyną, punkt przeciw niej, punkt dla niej.

Oba przykłady pytań matematycznych przypomniał mi popularyzator Ross Honsberger, w Mathematical Delights i w More Mathematical Morsels. Pierwsze wziął on z leningradzkich olimpiad matematycznych, ale chyba nie znał angielskiego wydania książki Hugona Steinhausa Sto Zadań (One Hundred Problems in Elementary Mathematics), gdzie wariant tego problemu ma numer 85. Drugie pochodzi przypuszczalnie jeszcze sprzed Big Bangu. Od Honsbergera przejmuję przedstawienie części matematycznej, za zamieszczone tu ogólnoludzkie ględzenie nie ma on żadnej odpowiedzialności.

Oto pierwsze zadanie, którego sformułowanie trąci pleśnią i nudą.

Mam 32 kamienie, ich ciężary są wszystkie odmienne. Do porównywania ich ciężarów mam wagę z dwoma szalami bez odważników. Jak mam działać, by po 35 porównaniach móc wskazać najcięższy kamień oraz najcięższy z pozostałych?

Może typowe działanie z wypisywaniem nierówności dla 32 zmiennych do czegoś doprowadzi (po bezsennej nocy?) ale odmienne spojrzenie na problem uświadamia nam, że takie coś znamy prawie od dziecka, tylko że trzeba użyć innych słów.

Powiedzmy, że mamy 32 szachistów, nie ma wśród nich ani jednej pary graczy o równej sile, czyli nie będzie remisów. Ile gier trzeba, żeby wyłonić mistrza i prawdziwego wicemistrza?

Pierwsze eliminacje to 16 partii, drugie to 8 partii, do ćwierćfinałów dochodzi 8 zwycięzców i grają 4 partie, potem są 2 półfinały i 1 finał. A więc 16+8+4+2+1=31 partii wskazało mistrza. Ale obecny wicemistrz nie musi być drugim najsilniejszym szachistą, może nim być którykolwiek z graczy, którzy po drodze przegrali z mistrzem. Jest ich piątka i wśród nich trzeba znaleźć najsilniejszego. Jakaś para siada do gry, wygrywający gra z jednym z pozostałych trzech itd, po 4 partiach jeden okazał się zwycięzcą w tej piątce.

A więc wyłowić najcięższy kamień to 31 ważeń, najcięższy z pozostałych to 4 ważenia, razem 35. I zrozumie to dziecko, które zacuka się na śmierć musząc zapisać zmienną z indeksem u dołu i znak nierówności. Czyli myślenie popłaca. A może fantazja?

Oj, jaki jest związek między myśleniem a fantazją? To może pomówmy o czymś prostszym. Drugie zadanie. Dwa plus dwa to tyle samo co dwa razy dwa. Czy są inne takie liczby naturalne, których suma i iloczyn są równe? Oczywiście zero wyrzucimy z tego towarzystwa, bo ono robi sobie kpiny z poważnego problemu.

Boisz się symboli x, y? To nazwijmy te liczby r, s. Skrót od renaty i sławki. Mamy r+s=r·s. Jak odkryć ile są one warte, jeśli są to liczby naturalne?

Otóż rutyna pyta: da się zrobić z tego równanie gdzie z jednej strony jest zero? Czemu nie:

r·s - r - s = 0 .

Ale na ogół lepiej jest mnożyć niż dodawać. Tu mamy i jedno i drugie (odejmowanie to dodawanie liczb ujemnych), jak z tego zrobić tylko iloczyn? Ha, dodając 1 do obu stron, bo

r·s - r - s +1 = (r-1)·(s-1) = 0 + 1

czyli

(r-1)·(s-1) = 1 .

Jeśli r,s są większe od zera, to r-1, s-1 są naturalne. Iloczyn dwóch liczb naturalnych to 1? W jednym jedynym przypadku, gdy oba czynniki są jedynkami. A więc r-1=1 i s-1=1, czyli r=2, s=2 i widzimy, że użyta na początku para liczb 2, 2 jest jedyną z tą zabawną własnością. Niech żyją iloczyny!