Czy jest możliwe w sztuce, że ktoś bierze znany już utwór, grą słów zmienia pojęcia i tworzy coś podobnego, ale własnego? Ależ to prawie stała recepta twórczości! Ileż dzieł wywodzi się z takich modyfikacji, ileż mądrze brzmiących słów: pastisz, transformacja, wariacja, sublimacja, wymyślono na takie cele! Ale to tylko w sztuce, nie w nauce! W nauce wszystko jest ścisłe, poważne i logiczne.

Azaliż? – jak mówił poeta. No, popatrzmy:

Twierdzenie. Niech N będzie wilgotnym makaronem długości a rzuconym losowo na nieskończony układ równoległych linii prostych ze stałą odległością d między sąsiednimi liniami. Wtedy oczekiwana liczba e(N) zetknięć z liniami jest dana jako e(N)=2a/πd.

Trzeba będzie zacząć opowieść od początku.

Otóż Georges-Louis Leclerc, późniejszy książę de Buffon, był przyrodnikiem, najbardziej wsławionym znacznym postarzeniem Ziemi, bo do znanej ilości 6 tysięcy lat dodał jej jeszcze 71 tysięcy, co w owym czasie wymagało sporej niezależności myślenia. Ale wśród matematyków ma mir dzięki postawieniu prostego pytania mającego niepokojącą odpowiedź. Chodzi o igłę Buffona, tak słynną i dobrze opisaną, że tylko w przelocie przypomnę, że chodzi o rzucenie odcinka (patyka, igły) na płaszczyznę wypełnioną równoległymi i w równych odległościach położonymi liniami. Jeśli długość odcinka jest mniejsza niż odległość między liniami, nie może on przeciąć dwóch różnych linii, ale może jedną. Pytanie brzmi: jakie jest prawdopodobieństwo, że dotknie jakiejś linii? Odpowiedź tym jest nieoczekiwana, że jest wzorkiem mówiącym o zależności od długości odcinka, od odległości między liniami – i od liczby π.

Wielu prawomyślnych obywateli buntowało się już przeciw temu intruzowi, bo jak wiadomo π pochodzi od okręgu i co ono robi w świecie odcinków i linii prostych, ale bezduszne okrucieństwo prostych rachunków nie zostawia miejsca na apelację do wyższych instancji: π ma tu być i koniec.

Dodam tylko, że igła ta pojawiła się na świecie w roku 1733 i wiele osób rzucało patyczki na stół, żeby, odwracając wszystko do góry nogami, policzyć eksperymentalnie (ilość rzutów z przecięciem linii dzielona przez ilość wszystkich rzutów to praktyczna realizacja teoretycznego prawdopodobieństwa) ile w przybliżeniu wynosi π. I jak mało gdzie fałszowano tu warunki eksperymentu, żeby wyszło znane i oczekiwane 3,1415 plus jeszcze coś tam. Nie chodzi tu o kłamliwe zapisywanie efektów rzutów, ale o bardzo dziwne ustalanie wymiaru projektu. Wyjaśnienie tego byłoby nieco dłuższe niż cały dzisiejszy wpis, ale mogę łatwo wskazać w jakim szczególe siedzi diabeł.

Przypomnę znane przybliżenie liczby π, wynoszące 22/7, wymyślone przez Archimedesa. I wielu uczniów może pomyśleć, że jeśli ten Archimedes był taki mądry to czemu tak głupio ograniczył się do malutkiego mianownika 7 w tym ułamku, bo gdyby wziął większy, tak z 50 albo 80, to by dostał lepszą dokładność przybliżenia. Otóż jest to w znanej klasyfikacji prawd tak zwana „gówno prawda”, bo jaki by nie wybrać mianownik poniżej setki to przybliżenie zawsze się staje gorsze, a nie lepsze. I następne lepsze przybliżenie wymaga ułamka z mianownikiem 113 (zobacz jak dobrze 355/113 przybliża π), a jeszcze lepsze wymierne przybliżenie (86953/27678) wymaga, jak widać, dużo większego mianownika.

Więc jeśli namaluję na desce linie odległe od siebie o 1 cm i wezmę patyk minimalnie (np. o milionową część centymetra) krótszy od 1 cm i postanowię rzucić go 264 razy i będę miał szczęście, że mi rzeczywiście padnie to na linie 168 razy, to ucieszę się doskonałym przybliżeniem π wynoszącym 3,142. Ale naturalniej wybrana mniejsza czy większa ilość rzutów (np. 260 lub 270) da gorsze przybliżenie, czyli ten wybór liczby 264 był w stylu demokratycznych wyborów w Uzbekistanie – przygotowany tak, by wyniki mogły być cudownie dobre.

Tak czy inaczej, matematycy bawią się rzucaniem igły, choć statystyka mówi, że w tym środowisku rzucanie mężów i żon też jest popularnym sportem. Zajmował się igłą także pan J.F. Ramaley. A igła po angielsku to needle, natomiast makaron to noodle. I coś Ramaley'owi kliknęło i w roku 1969 napisał prackę, w której zajął się obliczaniem prawdopodobieństwa przy miocie makaronu, a nie patyka. A wilgotny on po to, by móc się wykrzywić. Może nie będziesz chciał wierzyć w to wszystko (popieram twoje nastawienie, bo znam moją skłonność do kpinek), więc zerknij na ostatnią linię tego skanu:

Z pewnym opóźnieniem moda chwyciła i w latach 80-tych i 90-tych ukazało się parę publikacji rozważających miotanie makaronem. W jednej z nich znalazłem też sugestię rzucania baguette, ale myślę, że bagietki na to nie zasługują.