Dziś o frazie: „jak podzielić odcinek na pół samym cyrklem?” (Prawdę mówiąc, dodałem znak zapytania.)

Czemu mówić tu o tak technicznej sprawie? Bo to celny strzał w kwestię arcydzieł elementarnej matematyki – a także w naturalny sposób prowadzi do sprawy „twierdzeń z dwoma nazwiskami”.

Twierdzenie Mohra-Mascheroniego? Chyba rzadko uczeń „normalnej” szkoły słyszy o nim. Powiadamia ono, że w starożytnym greckim wymogu konstruowania punktów cyrklem i liniałem (linijką bez skali) można było zapomnieć o liniale: każda konstrukcja punktu wykonalna dwoma instrumentami może być wykonana używając tylko cyrkla.

Dwie szybkie uwagi: nie zapomnij, że twierdzenie mówi o punkcie! Cyrklem nie narysujesz odcinka na prostej, ale te jego punkty, które wymagają cyrkla i liniału. Ponadto, im mniej narzędzi, tym trudniejsza i dłuższa jest robótka. Na przykład, dość łatwo jest wsadzić kota do pudełka od butów używając głosu i ręki. Samym głosem dużo trudniej jest tego dokonać. (Może i nieskończenie trudno.)

Wymóg ekonomii (i estetyki): „tylko cyrkiel i liniał” był powszechny w greckiej matematyce, ale nie znamy ich prób jeszcze radykalniejszego ograniczenia technicznych zasobów w geometrii. To pomysł z nowożytnego świata.

Włoch Lorenzo Mascheroni przedstawił dowód owego stwierdzenia w dziele Geometria del Compasso z 1797 roku. Do nazwy twierdzenia Duńczyk Georg Mohr został dołączony dużo później, choć udowodnił to twierdzenie dużo wcześniej. (Jest tu dolnośląski akcent: Mohr pod koniec życia współpracował z Tschirnhausem w Kieslingswalde – dziś są to Sławnikowice, ok. 20 km od Zgorzelca.) Czemu tak późno? Cytuję cztery zdania z jego biografii z wyśmienitej kolekcji MacTutor:

Za jego czasów Mohr był mało znany jako matematyk. Jego książka Euclides danicus, opublikowana w roku 1672, była zapomniana, aż odkryto ją w jakiejś księgarni w roku 1928. Może nigdy nie sprzedano ani jednego egzemplarza! J. Hjelmslev napisał wstęp do Euclides danicus i przedrukował ją w tłumaczeniu na niemiecki w 1928r.

Zgadzam się, że historia inaczej by wyglądała gdyby Mohr miał szybsze połączenie z Internetem.

Podzielenie odcinka na pół używając dwóch instrumentów to banał: z końców odcinka kreślę dwa łuki o tym samym promieniu (oby tylko nie za krótkim, by mogły się spotkać), łączę dwa punkty leżące na obu łukach, łączący je odcinek przecina oryginalny odcinek w samym środku. Mam dwie konstrukcje naraz: połowy odcinka oraz kąta prostego. Ale co zrobić jeśli nie wolno mi połączyć dwóch punktów liniałem?

Oto co Dan Pedoe pisze w Rozdziale 0 swej pięknej i słynnej książeczki Okręgi (Circles)

Przez szczegółowym badaniem okręgów zabawmy się miłym problemem, który wiele lat temu przywołał moją uwagę:

Mamy dwa punkty A i B i tylko cyrkiel, jak wyznaczyć dokładnie środkowy punkt odcinka AB?

Problem ten pojawił się wśród jakichś zadań egzaminacyjnych z Uniwersytetu w Cambridge (zwanych Mathematical Tripos) w czasach gdy problemy musiały być rozwiązywane metodami geometrii Euklidesowej i rachunki były całkowicie zabronione. Akcent jest na słowie „dokładnie”. Przychodzi ochota gryzmolić i zgadywać...

I po tym wprowadzeniu problemu pokazuje jego rozwiązanie. Zanim je przytoczę, przypomnę dwa proste, ale ważne w konstrukcji fakty:

Jeśli wezmę odcinek i kąt β

i postanowię użyć ich do nakreślenia trójkąta równoramiennego (dwa boki równe, dwa kąty równe), w którym pojawi się dwa razy kąt β, mam dwie możliwości, trójkąty zielony i niebieski:

Ważne jest tutaj, że oba trójkąty są podobne, bo mają kąty β, β, π-2β.

Drugi fakt: jeśli od punktu A chcę oddalić się w kierunku punktu B (czyli na prostej je łączącej) o ich podwojoną odległość, robię to w ten sposób: zakreślam (spory) łuk wokół B przechodzący przez A i na nim trzy razy odkładam cyrklem długość tego odcinka:

Mam nadzieję, że jest to oczywiste: suma miar kątów trzech równobocznych trójkątów spotykających się w punkcie B to π, czyli punkty A, B, C leżą na linii prostej.

No i oto konstrukcja, którą Pedoe podaje:

Czy kolejność szkicowania łuków jest jasna? Najpierw łuk z centrum w A, przechodzący przez B. Potem łuk z centrum w C (a ten punkt już umiemy znaleźć) o promieniu dwukrotnie większym, czyli przechodzącym przez A. W końcu, dwa łuki przechodzące przez A, z centrami w P i w R. Ich punkt spotkania S to właśnie środkowy punkt odcinka AB.

Zabawne, że pierwiastek z 15, którego szukał ktoś niedawno, pojawi Ci się tutaj w całej krasie jeśli przyjmiesz, że AB mierzy 4 (czyli AS mierzy 2). Wiesz gdzie?