Kilkadziesiąt razy mówiłem tu o tym czy tamtym kawałku matematyki, pokazując (a przynajmniej bardzo starając się pokazać) jaka ona jest prosta i łatwa. Nawet najbardziej mi ufające osoby musiały mieć momenty, gdy podejrzewały, że nie mówiłem całej prawdy. Oczywiście, miały rację. Jeśli magik ma w kieszeni dwa króliki to nie ogłosi, że pokaże lisa. Powie raczej, że jak dobrze pójdzie, to uda się stworzyć królika, a potem triumfalnie go podwoi.

Więc trzeba przyznać, choćby raz na rok, że nie wszystko jest łatwe. Ale nie chodzi tu o rzucenie znienacka nazwą trudnej teorii czy ogromniastym wzorem. To są nierzetelne techniki straszenia, coś w stylu połączenia w ścieżce dźwiękowej filmu etiudy Debussy'ego z finałem symfonii Mahlera. Przyzwoici ludzie tego nie robią. Więc dla eleganckiego wystraszenia PT Gości muszę wcisnąć w ten koniec roku parę wyjaśnień o moich gawędach matematycznych.

Szukam tematów, które potrafię przedstawić bez nadmiaru symboli. Jeśli ludzie dyskutują bez symboli o czymś tak niesłychanie skomplikowanym jak nieskończona dobroć Boża czy niepokalane poczęcie, to można też bez symboli przedłożyć główne idee teorii homotopii czy chirurgii na rozmaitościach. Jeśli jest rysunek, nie może przyprawiać o oczopląs. I trzeba odróżnić techniczny detal od głównej idei, a przynajmniej udawać, że się odróżnia, bo często techniczny detal jest główną ideą.

Więc mogę opowiedzieć (i kiedyś to zrobię) twierdzenie Weierstrassa o tym jakimi natrętami są wielomiany, że wchodzą w pobliże każdego zbioru przyzwoitych funkcji. I kiedyś spełnię obietnicę daną Krzysztofowi Nawratkowi z opowiedzeniem (przynajmniej po części) o co chodzi w rachunku różniczkowym. Czasami głębokie wyniki rozważań mądrych głów da się opowiedzieć dość prostym językiem i wcale nikogo nie straszą.

Ale bywa też inaczej: problem wydaje się tak prosty, że tylko go do piersi przytulić, a okazuje się żmiją z 300-letnim ogonem. Pamiętasz z pewnością, że zaledwie kilkanaście lat temu Andrew Wiles podał rozwiązanie (ale niewielu potrafi je strawić) XVII-wiecznego problemu, tradycyjnie zwanego ostatnim twierdzeniem Fermata. I może znasz z tytułu popularnej książki problem Goldbacha, czy każda liczba parzysta rozłoży się na sumę dwóch liczb pierwszych. Problem do dziś stoi otworem i połyka nierozważnych.

Otóż chcę pokazać innego takiego milusińskiego, mordka sympatyczna ale charakter chyba mniej, bo stoi tak od ponad 1000 (słownie: tysiąca) lat i ciągle czeka na pełne rozwiązanie. Pokażę go, popatrz i potem szybko o nim zapomnij, a na pewno nie próbuj rozwiązywać chałupniczymi metodami, bo nie będzie to miało wesołego końca.

Otwieram drugi tom Dicksona „History of the Theory of Numbers”, na str.459, na początku rozdziału XVI pisze on:

Mohammed Ben Alhocain w arabskim manuskrypcie z Xw. stwierdził, że głównym zadaniem teorii wymiernych trójkątów prostokątnych jest znalezienie takiego kwadratu, który czy to powiększony, czy to pomniejszony o pewną liczbę k staje się kwadratem.

Zapiszmy to takimi znaczkami, których uczą już w podstawówce: wezmę odcinek o długości x, kwadrat z takim bokiem mierzy x², dodaję lub odejmuję k i chcę, by obie liczby, x²+k i x²-k, były kwadratami. Na pierwszy rzut oka nie jest jasne czemu takie wymierne liczby x,k miały by istnieć. Ale Dobra Wróżka szepcze: weź 5 i 24, weź 5 i 24! I rzeczywiście, 5²+24 to kwadrat i 5²-24 to kwadrat. Ale jak odszukiwać takie liczby, skąd mieć pewność, czy znamy wszystkie?

Po paru nietrudnych rachunkach problem da się sformułować w inny, popularniejszy dziś sposób:

Mam liczbę naturalną k. Czy znajdę trójkąt prostokątny, o wymiernych ramionach, taki, że jego pole wynosi k?

Imponująca prostota sformułowania, szokujący poziom trudności napotkanych przy próbie znalezienia ogólnego rozwiązania. Sprawa polepszyła się znacznie przed ... nie, tego nie zgadniesz: przed 25 laty, gdy Jerrold Tunnell udowodnił twierdzenie, noszące jego nazwisko, które pozwala sprawdzać konkretne przypadki, ale ciągle nie podaje pełnej klasyfikacji. I wiemy np., że dobre (czyli przystające, przystosowane (*)) liczby k to 5, 6 i 7 – a 1, 2, 3 i 4 nie są przystosowane. I dość łatwo dowiedziesz, że 3 nie jest, ale przypadek liczby 1 (czy 4, na to samo wychodzi, bo powiększając dwukrotnie skalę trójkąta z polem 1 dostaje się trójkąt z polem 4) jest dużo, dużo trudniejszym orzechem do zgryzienia.

Czyli nie ma demokracji w świecie liczb i nie ma jej w świecie matematycznych problemów. Niewinnie wyglądające sformułowanie może prowadzić do bardzo głębokiej kopalni kolejnych matematycznych problemów. W istocie, opisane tu zadanie jest najszybszym jaki znam wstępem do teorii krzywych eliptycznych, a choć nie jest to żaden smok, to jednak teoria krzywych eliptycznych – o ile wiem – nie jest przedmiotem studiów na polskich uniwersytetach, więc nie uchodzi za temat elementarny...

(*) czyli PS, efekt rozmowy z Jurkiem Kocikiem. Po angielsku znane jest to pod nazwą „congruent number problem”, fatalna nazwa i termin „congruent” w większości swych różnorakich znaczeń jest oddawany jako „przystający”. Ale ponieważ opisany tu problem wydaje się rzadko przypominany w polskiej literaturze (o ile był – chętnie bym się tego dowiedział), może najsensowniejszym pociągnięciem będzie w istocie wprowadzenie innego słowa, mniej szkodliwego, bo nie niosącego niejasnych odesłań do zapomnianych w historii intuicji. Ach, gdyby dało się to zrobić z wielu innymi terminami, szczególnie z liczbami „rzeczywistymi”...