Gdy pojawi się za chwilę trójkąt i kółko i kwadrat, ktoś może zakrzyknie: „andsol, to już było”, ale to prawda i nieprawda. To są te same słowa w zupełnie innych zdaniach. W innym zestawieniu treść będzie inna. Zaskakuje jak wiele niezłej elementarnej matematyki można pokazać używając tak niewielu prostych klocków.

Dzisiejsza bajka jest o żyrafie, której niby miało tu nie być, bo bajka jest z innego kraju, ale okazuje się, że żyrafy pojawiają się tam gdzie chcą. Dopiero pod koniec powiem kto tu robi za żyrafę i skąd bajkę wypożyczyłem. Teraz popatrz na ten trójkąt z kółkiem w środku. Wiesz, że trójkąt ma kąt prosty i krótsze boki mierzą a, b, a trzeci bok mierzy c. I zastanawiasz się jaki ma rozmiar największy możliwy wsadzony do trójkąta okrąg. Największy możliwy dotykałby wszystkich trzech boków (byłby do nich styczny). Nazywamy jego promień r i pytamy jak zależy ten nieznany r od znanych a,b,c.

Na początek przypomnę, że wychodzące z wierzchołka oba odcinki trójkąta dochodzące do punktów kontaktu z okręgiem mają te same długości (potrafisz uzasadnić to? Po połączeniu wierzchołka z centrum okręgu dostanie się dwa „takie same”, czyli przystające trójkąty, prawda?) A druga uwaga, to o prostym wyrażeniu: ab/2 mierzącym pole trójkąta.

Otóż można zabrać się do roboty używając dwóch odmiennych technik, raz porównując dwie miary przeciwprostokątnej trójkąta, drugi raz mierząc na dwa sposoby jego pole.

Pierwsza technika

pokazuje, że (a-r)+(b-r)=c, czyli r=(a+b-c)/2.

A druga polega na porównaniu sumy pól trzech składowych (kolorowych) trójkątów z polem całości:

ar/2+br/2+cr/2=ab/2, czyli r=ab/(a+b+c).

Wyrażenia podające r wyglądają zupełnie inaczej, ale muszą być sobie równe, przecież wynik nie zależy od sposobu prowadzenia rozumowania! I jeśli porównamy to-to, dostaniemy opis jakiegoś związku między a, b i c. A r, jako przyzwoity katalizator, poszedł sobie gdzieś w niebyt:

(a+b-c)(a+b+c)=2ab

I troszkę cierpliwości prowadzi do żyra... do twierdzenia Pitagorasa:

a²+b²=c²

– nieoczekiwanie dostaliśmy jego nietypowy dowód .

To opowiadanko napisał David Perkins, ma ono tytuł A Serendipitous Proof i ukazało się przed 5 laty w sympatycznym pisemku matematycznym: The College Mathematic Journal, 34 (2003), 359-369. Można dać dzieciom do zabawy, w środku nie ma ołowiu ani gwałtownych scen.