Poprzednie części: -0- , -1- , -2- , -3- , -4- , -5- .

Nawypyszczałem się w poprzednim odcinku o takich, co implikacji negować nie potrafią i wrócę tu do tematu. No wyobraź sobie, że siedzi w barze Dzidek i ogłasza: „jeśli jest jajko, to gdzieś jest kura”, na co mu Franek ripostuje: „nie masz racji, jest wręcz odwrotnie, jeśli jest kura to jest i jajko”, a Dzidek nawet nie zrozumiał, że mu Franek ani zaprzecza, ani go popiera, a jakiś zupełnie niezależny wątek wiedzie. I tak sobie rodacy dyskutują w dwóch zupełnie niestycznych rozmowach i nie wiedząc o tym piszą nowy scenariusz Monty Pythona.

Ale od tej splajtowanej próby zaprzeczania odróżnijmy poprawną metamorfozę, tak zwane „prawo kontrapozycji” Idzie o odmienne wysłowienie jakiegoś wnioskowania, jak w tym przykładzie, gdzie zamiast

„jeśli jej się spieszy to ona przyjedzie taksówką”

równie dobrze można powiedzieć

„jeśli ona nie przyjedzie taksówką to jej się nie spieszy” .

Przejście od jednej do drugiej formy wykorzystuje tę cechę alternatywy, że kolejność czynników nie ma znaczenia (naukowym żargonem tak to wyrażają: „alternatywa jest przemienna”) i to, że podwójna negacja nie zmienia wartości zdania:

      r ⇒ s 

≡ (¬r) ⋁ s

≡ s ⋁ (¬r)

       ≡ [¬(¬s)]⋁ (¬r)

≡ (¬s) ⇒(¬r) .

Choć sformułowania są w pełni naturalne (czytaj: zrozumiałe dla użytkownika codziennego języka), nierzadko uczeń za głowę się chwyta widząc zdanie

„jeśli argumenty funkcji są różne, to wartości są różne”

w zupełnie innym odzieniu:

„jeśli wartości są równe, to argumenty są równe”.

A przecież oba sformułowania znaczą dokładnie to samo i którekolwiek z nich może służyć jako definicja terminu

„funcja różnowartościowa (injektywna)”.

No i doszliśmy do „reductio ad absurdum”. Tak, łatwe, ładne, ważne, ale... Często w wyjaśnieniach pomija się pewien detal. Nieduży, ale ważny. Zazwyczaj schemat „dowodu niewprost” czyli „redukcji do sprzeczności” tak wygląda:

wiemy, że zaprzeczenie implikacji to koniunkcja hipotezy i negacji tezy:

¬(r ⇒ s) ≡ r ⋀ (¬s)

i z tego zdania będziemy się starali dojść do jakiejś sprzeczności. Jeśli to nam się uda, jeśli wywiedziemy stąd jakiś absurd, to dowiedzie on, że owa koniunkcja była niemożliwa, a więc oryginalna implikacja była prawdziwa.

To wszystko prawda, ale nie cała prawda. Bo byłby kłopot gdyby zbuntowany uczeń Jaś spytał wykładowcę: „no i co z tego, że doszliśmy do sprzeczności? Może odkryliśmy, że świat jest sprzeczny ze sobą, albo język matematyki nie ma sensu?” Wiem, że olbrzymia część uczących matematyki żachnie się tu i powie „o co chodzi, przecież mamy sprzeczność” ale to oburzenie nie zastąpi pominiętego fragmentu rozumowania.

Ciekawe, od lat patrzę czy w podręcznikach ktoś zauważa tę subtelność – jak dotychczas mam jedno jedyne trafienie. Mieści się ono w strasznie grubej książce The Handbook of the History of Logic, Volume 3 – The Rise of Modern Logic I: Leibniz to Frege, w artykule The Mathematical Turn in Logic, który napisał historyk matematyki i logiki Ivor Grattan-Guinness. (W Sieci widzę, że możesz to w formie pdf, 858 Kb, posiąść za US$ 31.50 i bardzo mi się to nie podoba, więc gdybyś tego chciał, daj znać, doślę Ci za US$0.00.) Pisze on tam, że matematyk potrzebuje tylko paru rzeczy z logiki i cała reszta jest mu nieistotna. Dlatego

w wyniku, nawet „ścisła” matematyka logikom wydaje się niechlujna. Uderzający przykład tego wskazał mi Graham Priest w jego przedstawieniu dowodu przez dojście do sprzeczności: matematycy starożytni (na przykład Euklides), średniowieczni czy współcześni, normalnie dowodzą twierdzenia T zakładając, że mają nie-T, otrzymując jakąś sprzeczność S i natychmiast wyciągają stąd wniosek, że T jest prawdą. Pomija się niezbędne wywnioskowanie z S jakiegoś zdania i odrzucenie go. Dla logika taki pośpiech jest dowodem niechlujności; dla matematyka, wdanie się w takie szczegóły jest dowodem pedanterii. I tak otwiera się otchłań między dwoma odmianami użytkowników logiki.

Filozofowie stanęliby po stronie logików.

Nie jestem filozofem i nie stanę po stronie logików, by za każdym razem wdawać się w nudne szczegóły sformalizowanego dowodu, ale wierzę, że warto przynajmniej jeden raz w życiu wyjaśnić uczniowi co w tym złego, że doszliśmy do sprzeczności. To wcale nie jest trudne, więc obawiam się, że zarzut niechlujności w nauczaniu tego tematu jest trochę uzasadniony.

Otóż, wyobraźmy sobie, że zaprzeczając zdaniu warunkowemu doszliśmy do sprzeczności, czyli zdołaliśmy wyprodukować jakieś rozumowanie typu

[r ⋀ (¬s)] ⇒ [t ⋀ (¬t)] .

Skoro nasze rozumowanie jest poprawne (implikacja ma wartość 1 a sprzeczność mówiąca „mam t i nie-t” ma wartość 0) to oczywiście zdanie stojące przed znakiem implikacji musi mieć wartość 0, bo nie jest możliwe (pamiętasz przyjętą definicję implikacji?) byśmy mieli 1⇒0 jako prawdziwe zdanie. No i świetnie, właśnie o to nam chodziło, by wymusić informację, że początek tego warunkowego zdania wart jest 0. A skoro r⋀(¬s) warte jest 0, to r⇒s warte jest 1.

Wartość tej techniki rozumowania ujawnia się gdy chcemy dowieść niemożliwości jakiejś konstrukcji. Wartością tą jest ustrzeżenie nas przed inwestowaniem środków i czasu w niewykonalne zadania, ale jest tu trochę niemiły element. Skoro mówimy o „niemożliwości” to na ogół zdanie s będzie już w sobie zawierało negację i skomplikuje to obracanie całym wyrażeniem. Ale możemy zostawić ogląd jakiegoś słynnego matematycznego zastosowania tej techniki na następny odcinek.

Tak, jest jeszcze o czym rozmawiać, kwantyfikatory, diagramy Venna, zapomniana notacja Carrolla, mało znana notacja Łukasiewicza, dziwne zauroczenie symbolami matematyki u Churcha i Wittgensteina... Ciekaw jestem czy rozłożone na małe kęsy staje się to bardziej strawne. Podejrzewam jednak, że tak szybko nie dowiem się tego.