Wszyscy już mają w ręce nożyczki? To proszę je odłożyć. Twierdzenie Talesa też. Wiem, że to są świetne narzędzia do dzielenia odcinka na równe kawałki, ale chcę pokazać sposób, który pozornie unika tego twierdzenia.

O tym twierdzeniu nie raz już tu było, ale na wszelki wypadek przypomnę jak go się używa do dzielenia odcinka na części. Oczywiście nie robiłbym tego przy dzieleniu na 2, 4, 8, 16 i tak dalej, bo połowienie odcinka przez zakreślenie dwóch łuków z jego końców jest prostsze. A w innych przypadkach polega to w gruncie rzeczy na przenoszeniu „mojej” skali z pomocniczego odcinka na ów pożądany.

Pokażę to dla dzielenia na 3 kawałki, dla innych ilości jest tak samo, tylko robota dłużej trwa.

Do (czarnego) odcinka leżącego w oczekiwaniu na podział dolepiam w jednym z końców na półprostej (idącej w jakimkolwiek kierunku) trzykrotne powtórzenie jakiegoś (zielonego) odcinka, który wybieram jak mi się chce. Na niebiesko łączę końce potrójnego zielonego i początkowego czarnego. Przez końcowy punkt pomocniczego zielonego przeprowadzam (też na niebiesko) linię równoległą do niebieskiej i ona wycina na czarnym odcinku jego trzecią część. (Co się stanie jeśli użyjesz innych kolorów? Nie chcę o tym nawet mówić, sam spróbuj i zobacz jakie są konsekwencje takiej niezależności.)

Rzecz w tym, że chciałbym podzielić mój odcinek na 10 części nie używając kreślenia prostych równoległych. Czy uda się to?

(Musi się udać, bo by nie było wpisu.)

Biorę odcinek i czule go układam w poziomie.

Dolepiam mu jakieś dwa inne odcinki, tworząc trójkąt. Te nowe odcinki dwukrotnie połowię, zaznaczam im ich czwarte części.

Z przeciwległych wierzchołków kreślę do nowych niebieskich punktów pomocnicze odcinki (to ja wiem, że one są pomocnicze, one myślą, że są ważne).

Łączę górny wierzchołek z punktem przecięcia się pomocniczych odcinków, doprowadzam ten nowy odcinek do przecięcia się z leżącym czarnym. Wykroiłem na nim właśnie jego dziesiątą część.

Jakim cudem? To twierdzenie, które pan Giovanni Ceva wymyślił dla nas. Łatwo zapamiętać autora, bo się nazywał Giovanni Ceva (Dżiowanni Sewa), łatwo zapamiętać kiedy to zrobił, bo rok był 5678 i w tej dacie jest tylko jeden błąd. Twierdzenie jest tu narysowane:

i można je czytać z góry do dołu: jeśli trzy pomarańczowe odcinki wychodzące z wierzchołków przecięły się w jednym punkcie, to iloczyny długości odcinków ciemnozielonych i jasnozielonych są te same.

Można je też czytać od dołu do góry (i wtedy nazywa się twierdzeniem odwrotnym): jeśli trzy niebieskie punkty są tak wybrane, że owe iloczyny są równe, to pomarańczowe odcinki spotykają się w jednym punkcie.

W gruncie rzeczy ważne są tu proporcje a nie długości:

No i teraz mogę wyjaśnić cud: dodane na początku ukośne odcinki zostały podzielone na 4 kawałki, więc stosunki ich są „trzy do jednego”. Wobec tego stosunek kawałków leżącego odcinka jest „jeden do dziewięciu”, czyli w sumie jest 10 kawałków.

Jeśli tak cię to zainteresowało, że już się bierzesz do robienia podobnych rysunków myśląc „jeśli udało się dzielenie na 10 to czemu nie ma się udać dla innych liczb?”, nie martw się, to jeszcze nie jest cyrograf na zostanie matematykiem. W dawnych czasach tzw. laicy bawili się takimi rzeczami. W trzytomowej „History of the Theory of Numbers” L.E.Dicksona na wielu stronach są odniesienia do o wiele trudniejszych zadanek, które były zamieszczane kiedyś w takich pismach jak „Ladies' Diary”, „Časopis”, „Les Mondes”, „Sphinx-Oedipe” – i które doczekiwały się komentarzy i wartościowych uwag czytelników. Więc historia jest po twojej stronie.

A kto ma ochotę zobaczyć parę odpowiedzi (mam jednak nadzieję, że nie przed zadaniem sobie pytań), służę paru uwagami, spisanymi dla zainteresowanych, nie obawiających się takich technicznych terminów jak „parzysty”, „nieparzysty” czy „potęga liczby 2”.

Aha, dlaczego na początku mówiłem o „pozornym” unikaniu twierdzenia Talesa? Bo wszystkie znane mi dowody twierdzenia Cevy go używają...