Wpis miał nazywać się Poprawnie czy sprawnie, bo z pomyślunkiem jest właśnie sprawniej niż nastając na rachunki, ale ktoś mógłby zrozumieć, że sprawna ścieżka ma w sobie coś niepoprawnego, więc zrezygnowałem z pomysłu. A chodzi o pokazanie zupełnie prostej sprawy, jak liczy się różne kąty w pięciokącie. Sporo osób przychodzi tutaj właśnie dla odwiedzenia pięciokąta, więc czasami zerkam na konkurencję, by zobaczyć co ona ma czego ja nie mam – i jak jej jeszcze lepiej ukraść jej wizyty. I widzę często, że ma ona wiele rachunków, o których nie będę mówił źle, bo przecież są poprawne, ale będę myślał o nich źle, bo nie widzę ich sensu.

To ważna sprawa jakie nawyki utrwalamy w naszym działaniu. Jeśli chodzi o przechodzenie na drugą stronę ulicy, przechodzenie po zebrze pod kątem prostym jest wyśmienitą rutyną, bo nie zawsze chodzimy ulicą skupieni i czujni i taki obyczaj powiększa nasze szanse na dotrwanie do wieku emerytalnego. Ale ocenianie ludzi po staranności ich fryzury może doprowadzić nas kiedyś do poważnych błędów myślowych.

W rozpaczliwie częsty i nudny sposób przekazujący szkolną matematykę (zwani nauczycielami, niezależnie od tego czy nauczają czy też musztrują) dają pierwszeństwo rachunkom, nawet gdy uniknięcie ich jest milsze i szybciej prowadzi do pożądanego wyniku. Chcę pokazać to na przykładzie pytania o wewnętrzne kąty pięciokąta. Zachęcam do odwiedzenia konkurencji, a potem do powrotu do naszej rozmowy.

tik tak tik tak tik tak tik tak

No i jak tam było? Wyprowadzenie ogólnego wzoru na kąt k w wielokącie foremnym, coś w stylu k=(n-2)·180°/n? Jeśli przy wyprowadzaniu tego wzoru autor nie użył środka figury dla rozbicia jej na równiutkie trójkąty, nie będę warczał. Czemu nie chcę użycia centrum? Takie podejście skłania do przesądu, że suma kątów wewnętrznych równa (n-2)·180° jest powiązana tylko z wielobokami foremnymi (kąty równe, boki równe). Oczywiście, jest to poprawna wartość dla wszelkich możliwych wieloboków (bez samoprzecięć) z n bokami. I zgadzam się, że poznanie tego wzoru to zasianie ziarenka na przyszłość. Przydaje się on np. przy analizowaniu czworoboków wpisanych (lub nie) w okrąg. A podzielenie tej sumy na n równych części jest w przypadku wieloboku foremnego całkiem oczywiste.

Ale nawet jeśli rachunek jest zrobiony sensownie, nie jest teraz potrzebny. Przyzwyczajmy się do używania, o ile to możliwe, najbardziej elementarnych faktów. W ten sposób ułatwia się łowy na ewentualne błędy i lepiej rozumie się co skąd się bierze.

Elementarne fakty w geometrii to twierdzenie Talesa, twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie o kącie centralnym środkowym. Oto rysunek mówiący o tym ostatnim z trójki ważnych:

Chodzi o to, że patrząc na rudą cięciwę (odcinek, strunę, nazwij jak chcesz) z centrum okręgu widzisz ją pod kątem dwukrotnie większym niż patrząc z jakiegoś punktu na okręgu („powyżej” tego odcinka). Z jakiegoś znaczy z jakiegokolwiek, z każdego, czyli mamy stąd łatwy wniosek, że zmieniając punkt na okręgu nie zmieniamy kąta k. Czyli po okręgu bez zmiany kąta można ślizgać się punktem – albo odcinkiem. Dziecko może (i powinno) udowodnić to sobie. A my teraz to wykorzystamy.

Zielone boki (mają równe długości!) są widziane pod tym samym kątem a z punktu na okręgu. Więc kąt centralny środkowy ma 2a, pięć takich kątów daje kąt pełny czyli 360°

i kąt wewnętrzny k=3a=108°.

W naszym gatunku biologicznym pojmowanie przez ogląd wydaje się łatwiejsze niż śledzenie rachunków. Warto przy uczeniu się wykorzystać tę cechę naszej wewnętrznej konstrukcji.

Przepraszam za nudzenie, jeśli jest to dla ciebie oczywistością. Ale wygląda na to, że nie tacy jak ty tworzą większość wśród mówiących i piszących o pięciokącie.

Ten tekst jest ukłonem dla kolekcji Bartosza Zajączkowskiego, dotyczącej sprawnego myślenia.